矩陣群

在數學中，一個矩陣群（matrix group）G 由某個域 K（通常為了方便是固定的）上可逆方塊矩陣組成，群運算分別為矩陣乘法與矩陣乘法的逆運算。更一般地，我們可考慮一個交換環 R 上的 n × n 矩陣（矩陣的大小限制為有限，因為任何群可表示為任何域上一個無限矩陣群）。線性群（linear group）是同構於一個域 K 上矩陣群的抽象群，換句話說，在 K 上有一個忠實有限維表示。

任何有限群是線性的，因為利用凱萊定理可以實現為置換矩陣。在無限群中，線性群組成有趣且易於處理的一類。非線性群的例子包括所有「足夠大」群；例如一個無限集合的無限對稱群。

基本例子

在一個交換環 R 上 n × n 矩陣集合 M_R(n,n) 在矩陣加法與乘法下自身是一個環。 M_R(n,n) 的單位群稱為在環 R 上 n × n 矩陣的一般線性群，記作 GL_n(R) 或 GL(n,R)。所有矩陣群是某個一般線性群的子群。

典型群

某些已被證明有研究價值或性質較好的矩陣群是所謂的典型群。當矩陣群的係數環是實數，這些群是典型李群。當底環是一個有限域，典型群是李型群。這些群在有限單群分類中起着重要的作用。

有限群作為矩陣群

任何有限群同構於某個矩陣群。這類似於凱萊定理說每個有限群同構於某個置換群。因為同構性質是傳遞的，我們只需考慮怎樣從一個置換群構造一個矩陣群。

令 G 是在 n點 (Ω = {1,2,…,n}) 上的置換群，設 {g₁,...,g_k} 是 G 的一個生成集合。複數域上 n×n 矩陣的一般線性群 GL_n(C) 自然作用在向量空間 Cⁿ 上。設 B={b₁,…,b_n} 是 Cⁿ 的標準基。對每個 g_i 令 M_i 屬於 GL_n(C) 是將每個 b_j 送到 b_{g_i(j)} 的一個矩陣。這就是如果置換 g_i 將點 j 送到 k 則 M_i 將基向量 b_j 送到 b_k。令 M 是 GL_n(C) 中由 {M₁,…,M_k} 生成的子群。G 在 Ω 上的作用恰好與 M 在 B 上的作用相同。可以證明將每個 g_i 送到 M_i 的函數擴張成一個同構，這樣每個置換群同構於一個子群。

注意到域（上面用的是 C）是無關的，因為 M 包含的元素矩陣分量只是 0 或 1。容易對任意域可做同樣的構造，因為元素 0 和 1 在每個域中。

舉一例，令 G = S₃，3 個點的對稱群。設 g₁ = (1,2,3) 和 g₂ = (1,2)，則

M_{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}

M_{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

注意到 M₁b₁ = b₂，M₁b₂ = b₃ 以及 M₁b₃ = b₁。類似地，M₂b₁ = b₂，M₂b₂ = b₁ 以及 M₂b₃ = b₃。

表示論與特徵標理論

線性變換與矩陣（一般地說）在數學中已被充分理解，在群的研究中被廣泛使用。特別是表示論研究從一個群到一個矩陣群的同態與特徵標理論研究從一個群到由一個表示的跡給出的一個域的同態。

例子

李群列表（英語：Table of Lie groups）、有限單群列表（英語：List of finite simple groups），以及單李群中有許多例子。
參見傳遞有限群列表（英語：List of transitive finite linear groups）。

參考文獻

Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 0-387-40122-9
Wulf Rossmann, Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups (Oxford Graduate Texts in Mathematics), Oxford University Press ISBN 0-19-859683-9.
La géométrie des groupes classiques, J. Dieudonné. Springer, 1955. ISBN 1-114-75188-X
The classical groups, H. Weyl, ISBN 0-691-05756-7

外部連結

EoM article Linear groups （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）