離散正弦變換

離散正弦變換（DST for Discrete Sine Transform）是一種與傅立葉變換相關的變換，類似離散傅立葉變換，但是只用實數矩陣。離散正弦變換相當於長度約為它兩倍，一個實數且奇對稱輸入資料的的離散傅立葉變換的虛數部分（因為一個實奇輸入的傅立葉變換為純虛數奇對稱輸出）。有些變型裡將輸入或輸出移動半個取樣。

一種相關的變換是離散餘弦變換，相當於長度約為它兩倍，實偶函數的離散傅立葉變換。參考DCT本文有關邊界條件和不同的DCT和DST關聯的一般討論。

應用

離散正弦變換常被用來由譜方法解偏微分方程，這時候離散正弦變換的不同的變數對應著兩端不同的奇/偶邊界條件。

定義

形式上，離散正弦變換是一個線性的可逆函數 $F:R^{N}\rightarrow R^{N}$ ，其中R為實數集，或等價的說是一個 $N\times N$ 方陣。離散正弦變換有幾種稍微不同定義的變形，皆根據以下公式之一把 $N$ 個實數 $x_{0},\ldots ,x_{N-1}$ 變換到另 $N$ 個實數 $X_{0},\ldots ,X_{N-1}$ 。

DST-I

X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N+1}}(n+1)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1

一個DST-I矩陣為正交矩陣（差一個係數）。

$N=3$ 的實數abc的DST-I變換等價於8點實數0abc0(-c)(-b)(-a)（奇對稱）的DFT轉換，再除2（而DST-II~DST-IV等價於DFT有半個取樣的位移）。

因而DST-I對應的邊界條件是： $x_{n}$ 對 $n=-1$ 奇對稱，也對 $n=N$ 奇對稱； $X_{k}$ 也類似。

DST-II

X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1

DST-III

X_{k}={\frac {(-1)^{k}}{2}}x_{N-1}+\sum _{n=0}^{N-2}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}(n+1)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1

DST-IV

X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1

一個DST-IV矩陣為正交矩陣（差一個係數）。

DST V-VIII

反變換

DST-I的反變換是把DST-I乘以 ${\frac {1}{N+1}}$ 。 DST-IV的反變換是把DST-IV乘以 ${\frac {2}{N}}$ 。 DST-II的反變換是把DST-III乘以 ${\frac {2}{N}}$ ，反之亦然。

類似離散傅立葉變換，這些定義前面的歸一係數只是習慣，不同人有不同定義。例如有人在變換前面乘 ${\sqrt {\frac {2}{N}}}$ ，使反變換和變換在形式上更相似，而不需另外的歸一係數。

計算

參考資料

S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994).
Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. A free (GPL) C library that can compute fast DSTs (types I-IV) in one or more dimensions, of arbitrary size. Also M. Frigo and S. G. Johnson, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).

外部連結

離散正弦變換（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）