自然密度 （英語：natural density 漸進密度 （英語：asymptotic density 數論 中度量自然數 子集 大小的工具之一。
對於一個自然數集的子集
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
收斂 到
α
{\displaystyle \alpha }
A
{\displaystyle A}
α
{\displaystyle \alpha }
更進一步，若定義
a
(
n
)
{\displaystyle a(n)}
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
A
{\displaystyle A}
α
{\displaystyle \alpha }
a
(
n
)
n
→
α
{\displaystyle {\frac {a(n)}{n}}\to \alpha }
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
[ 1] 從定義中可以看出，若
α
{\displaystyle \alpha }
A
{\displaystyle A}
0
≤
α
≤
1
{\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}
設
A
{\displaystyle A}
N
=
{
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
A
(
n
)
=
{
1
,
2
,
…
,
n
}
∩
A
{\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A}
a
(
n
)
=
|
A
(
n
)
|
{\displaystyle a(n)=|A(n)|}
則
A
{\displaystyle A}
上自然密度 （英語：upper asymptotic density
d
¯
(
A
)
=
lim sup
n
→
∞
a
(
n
)
n
{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
其中
lim sup
{\displaystyle \limsup }
上極限 。
d
¯
(
A
)
{\displaystyle {\overline {d}}(A)}
A
{\displaystyle A}
上密度 。
同樣地，定義A的下自然密度 （英語：lower asymptotic density
d
_
(
A
)
=
lim inf
n
→
∞
a
(
n
)
n
{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
1. 由上自然密度和下自然密度的定義，我們也可以說
A
{\displaystyle A}
自然密度
d
(
A
)
{\displaystyle d(A)}
若
d
¯
(
A
)
=
d
_
(
A
)
{\displaystyle {\overline {d}}(A)={\underline {d}}(A)}
d
(
A
)
{\displaystyle d(A)}
d
¯
(
A
)
{\displaystyle {\overline {d}}(A)}
d
_
(
A
)
{\displaystyle {\underline {d}}(A)}
2. 自然密度的定義還可以表示為：
d
(
A
)
=
lim
n
→
∞
a
(
n
)
n
{\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
[ 2] 3. 可以證明，下述命題也是自然密度的定義：
若將自然數集
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
A
{\displaystyle A}
A
=
{
a
1
<
a
2
<
…
<
a
n
<
…
;
n
∈
N
}
{\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}}
那麼
d
_
(
A
)
=
lim inf
n
→
∞
n
a
n
,
{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}
d
¯
(
A
)
=
lim sup
n
→
∞
n
a
n
{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}
d
(
A
)
=
lim
n
→
∞
n
a
n
{\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}
一個稍弱的密度定義是 上Banach密度 （英語：upper Banach density
A
⊆
N
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }
d
∗
(
A
)
{\displaystyle d^{*}(A)}
d
∗
(
A
)
=
lim sup
N
−
M
→
∞
|
A
∩
{
M
,
M
+
1
,
…
,
N
}
|
N
−
M
+
1
{\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}}
若對於集合
A
{\displaystyle A}
d
(
A
)
{\displaystyle d(A)}
補集
A
∁
{\displaystyle A^{\complement }}
d
(
A
∁
)
=
1
−
d
(
A
)
{\displaystyle d(A^{\complement })=1-d(A)}
若
d
(
A
)
{\displaystyle d(A)}
d
(
B
)
{\displaystyle d(B)}
d
(
A
∪
B
)
{\displaystyle d(A\cup B)}
max
{
d
(
A
)
,
d
(
B
)
}
≤
d
(
A
∪
B
)
≤
min
{
d
(
A
)
+
d
(
B
)
,
1
}
{\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}}
自然數集的自然密度為
1
{\displaystyle 1}
d
(
N
)
=
1
{\displaystyle d(\mathbb {N} )=1}
對於自然數集的任意有限子集
F
{\displaystyle F}
d
(
F
)
=
0
{\displaystyle d(F)=0}
對於平方數集
A
=
{
n
2
;
n
∈
N
}
{\displaystyle A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}}
d
(
A
)
=
0
{\displaystyle d(A)=0}
對於偶數 集
A
=
{
2
n
;
n
∈
N
}
{\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}}
d
(
A
)
=
0.5
{\displaystyle d(A)=0.5}
等差級數 組成的集合
A
=
{
a
n
+
b
;
n
∈
N
}
{\displaystyle A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}}
d
(
A
)
=
1
a
{\displaystyle d(A)={\frac {1}{a}}}
對於質數 集合
P
{\displaystyle P}
質數定理 知：
d
(
P
)
=
0
{\displaystyle d(P)=0}
無平方數因數的數 的集合的自然密度為
6
π
2
{\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}
n
{\displaystyle n}
1
ζ
(
n
)
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (n)}}}
ζ
(
n
)
{\displaystyle \zeta (n)}
黎曼ζ函數 。過剩數 集合具有非零的自然密度[ 3] 完全數 的集合的自然密度在0.2474與0.2480之間[ 4] 所有在二進制 表示法中位數為奇數 的自然數的集合，即
A
=
⋃
n
=
0
∞
{
2
2
n
,
…
,
2
2
n
+
1
−
1
}
{\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}}
其上自然密度為：
d
¯
(
A
)
=
lim
m
→
∞
1
+
2
2
+
⋯
+
2
2
m
2
2
m
+
1
−
1
=
lim
m
→
∞
2
2
m
+
2
−
1
3
(
2
2
m
+
1
−
1
)
=
2
3
{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}}
而其下自然密度為：
d
_
(
A
)
=
lim
m
→
∞
1
+
2
2
+
⋯
+
2
2
m
2
2
m
+
2
−
1
=
lim
m
→
∞
2
2
m
+
2
−
1
3
(
2
2
m
+
2
−
1
)
=
1
3
{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}}
同樣，所有十進制 表示法中以
1
{\displaystyle 1}
5
9
{\displaystyle {\frac {5}{9}}}
1
9
{\displaystyle {\frac {1}{9}}}
[ 1]
對區間[0,1]上的任意Equidistributed序列
{
α
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
單調 集族
{
A
x
}
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}
A
x
:=
{
n
∈
N
:
α
n
<
x
}
{\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}}
則依定義有：
對於任意的
x
{\displaystyle x}
d
(
A
x
)
=
x
{\displaystyle d(A_{x})=x}
若
S
{\displaystyle S}
塞邁雷迪定理
S
{\displaystyle S}
Furstenberg–Sárközy定理
S
{\displaystyle S}
用類似的方法可以定義出自然數集上的其他密度函數。 例如，集合
A
{\displaystyle A}
對數密度 （英語：logarithmic density ）可以定義為：
δ
(
A
)
=
lim
x
→
∞
1
log
x
∑
n
∈
A
,
n
≤
x
1
n
{\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}}
同樣也可以定義對應的上對數密度和下對數密度。
![{\displaystyle [1,n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c79af450e22e8fd23f28e6be4cb23a47b24c1ba)
![{\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6fb49bcf92bc6b29cd6a201ab6008ae936bf873)
