在線性代數與矩陣論中,一個矩陣的子矩陣之舒爾補是一個與其余子陣同樣大小的矩陣,定義如下:假設一個 (p+q)×(p+q)的矩陣M被分為A, B, C, D四個部分,分別是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩陣,也就是說:
![{\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06975df014f40e74936e5d74d528ec791a10d21e)
並且D是可逆的矩陣。則D在矩陣中的舒爾補是:
![{\displaystyle A-BD^{-1}C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7eef3c10b8a9cea35cfb1ffc1134be60fa6f42d)
這是一個p×p的矩陣。
舒爾補得名於數學家伊賽·舒爾,後者用舒爾補來證明舒爾引理。然而,舒爾補的概念在之前就曾經被使用過[1]。
舒爾補實際上是對原來的矩陣M進行一系列的初等變換操作後得到的矩陣,其轉換矩陣是下三角矩陣:
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其中Ip表示一個p×p的單位矩陣。矩陣M右乘轉換矩陣L之後,左上角就會出現舒爾補,具體的形式是:
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因此,矩陣M的逆,如果存在的話,可以用 以及其舒爾補(如果存在的話)來表示:
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當p和q都等於1(即A、B、C和D都是係數)時,我們可以得到一般的2 × 2的矩陣的逆矩陣表達式:
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這也說明了 是非零的數。
假設有分別屬於Rn以及Rm的隨機列向量X, Y ,並且Rn+m中的向量對 (X, Y)具有多維正態分布,其方差矩陣是對稱的正定矩陣
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那麼X在Y給定時的條件方差是矩陣C在V中的舒爾補:
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- ^ Zhang, Fuzhen. The Schur Complement and Its Applications. Springer. 2005. ISBN 0387242716.