在线性代数与矩阵论中,一个矩阵的子矩阵之舒尔补是一个与其余子阵同样大小的矩阵,定义如下:假设一个 (p+q)×(p+q)的矩阵M被分为A, B, C, D四个部分,分别是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩阵,也就是说:
![{\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06975df014f40e74936e5d74d528ec791a10d21e)
并且D是可逆的矩阵。则D在矩阵中的舒尔补是:
![{\displaystyle A-BD^{-1}C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7eef3c10b8a9cea35cfb1ffc1134be60fa6f42d)
这是一个p×p的矩阵。
舒尔补得名于数学家伊赛·舒尔,后者用舒尔补来证明舒尔引理。然而,舒尔补的概念在之前就曾经被使用过[1]。
舒尔补实际上是对原来的矩阵M进行一系列的初等变换操作后得到的矩阵,其转换矩阵是下三角矩阵:
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其中Ip表示一个p×p的单位矩阵。矩阵M右乘转换矩阵L之后,左上角就会出现舒尔补,具体的形式是:
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因此,矩阵M的逆,如果存在的话,可以用 以及其舒尔补(如果存在的话)来表示:
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当p和q都等于1(即A、B、C和D都是系数)时,我们可以得到一般的2 × 2的矩阵的逆矩阵表达式:
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这也说明了 是非零的数。
假设有分别属于Rn以及Rm的随机列向量X, Y ,并且Rn+m中的向量对 (X, Y)具有多维正态分布,其方差矩阵是对称的正定矩阵
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那么X在Y给定时的条件方差是矩阵C在V中的舒尔补:
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- ^ Zhang, Fuzhen. The Schur Complement and Its Applications. Springer. 2005. ISBN 0387242716.