範疇化

數學中，範疇化是將集合論的定理替換為範疇論類似物的過程。成功的範疇化會將集合替換為範疇，將函數替換為函子，將方程替換為自然變換或函子。

範疇化的逆叫做「去範疇化」，是將範疇內同構的物件在態射意義下視同相等的系統化過程。去範疇化往往比範疇化更簡單。李代數的表示論和特定代數上的模都是這種研究的合適物件。有幾種對這樣的模進行範疇化的框架，如所謂（弱）阿貝爾範疇。

範疇化和去範疇化不是精確的數學過程，而是一類可能的相似物。這種過程與「廣義化」之類的術語相近，而不像「構造從層化」（Sheafification）之類。

例子

範疇化的一種形式採用了以集合論描述的結構，將集合解釋為範疇內物件的「同構類」。例如自然數集可視作有限集的勢的集合（任意兩個有相同勢的集合都視作同構）。這時，對自然數集的操作，如加法、乘法等運算可以視作對有限集範疇的副積和積。這裡的思想不太抽象地說，是操作由具體物件組成的集合，並取副積（併集）或積（構建元素的數組）；之後，集合的內在結構便通過「同構取等」被抽象出來，產生算術的抽象理論。這是「去範疇化」的過程，範疇化會把它逆過來。

另一個例子包括拓撲學中的同調。埃米·諾特給出了同調的現代闡釋：即通過範疇化貝蒂數的標記，得到的特定自由阿貝爾群的秩。另見Khovanov同調在紐結理論中作為紐結不變量。

有限群理論中的一個例子是，對稱函數環的範疇化可以通過對稱群的表示的範疇實現。去範疇化映射將Specht模對$\lambda$的偏變為Schur函數的同一個偏，即

$S^{\lambda }{\stackrel {\varphi }{\to }}s_{\lambda }$

基本遵循了從關聯的格羅滕迪克群的最適基到對稱函數環的表示論最適基的特徵映射。這樣的映射反映了結構如何保持相似，例如

$\left[\operatorname {Ind} _{S_{m}\otimes S_{n}}^{S_{n+m}}(S^{\mu }\otimes S^{\nu })\right]\qquad {\text{ and }}\qquad s_{\mu }s_{\nu }$

在各自的基上有相同的分解數，都可以由Littlewood–Richardson係數確定。

阿貝爾範疇化

對範疇${\mathcal {B}}$，令$K({\mathcal {B}})$為${\mathcal {B}}$的格羅滕迪克群。

令$A$為是自由阿貝爾群的環，並使$\mathbf {a} =\{a_{i}\}_{i\in I}$為$A$的基，這樣$\mathbf {a}$中的乘法就是正定的，即

$a_{i}a_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}a_{k},$，其中$c_{ij}^{k}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$

令$B$為$A$-模，則$(A,\mathbf {a} ,B)$的（弱）阿貝爾範疇會包括一個阿貝爾範疇${\mathcal {B}}$、一個同構關係$\phi :K({\mathcal {B}})\to B$、精確自函子$F_{i}:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}$，則

1. 函子$F_{i}$將$a_{i}$的活動施於模$B$，即$\phi [F_{i}]=a_{i}\phi$；
2. 有同構關係$F_{i}F_{j}\cong \bigoplus _{k}F_{k}^{c_{ij}^{k}},$，即複合$F_{i}F_{j}$可以分解為函子$F_{k}$的直和。相對地，$a_{i}a_{j}$也可以分解為基元素$a_{k}$的線性組合。

另見

• 組合證明，將數論的定理以集合論的類似物表示的過程。
• 高階範疇
• 高維代數
• 2-環

參考文獻

• Baez, John; Dolan, James, Categorification, Getzler, Ezra; Kapranov, Mikhail (編), Higher Category Theory, Contemp. Math. 230, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society: 1–36, 1998, arXiv:math.QA/9802029  
• Crane, Louis; Yetter, David N., Examples of categorification, Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques, 1998, 39 (1): 3–25 [2023-09-01], （原始內容存檔於2023-09-01） 
• Mazorchuk, Volodymyr, Lectures on Algebraic Categorification, QGM Master Class Series, European Mathematical Society, 2010, Bibcode:2010arXiv1011.0144M, arXiv:1011.0144  
• Savage, Alistair, Introduction to Categorification, 2014, Bibcode:2014arXiv1401.6037S, arXiv:1401.6037  
• Khovanov, Mikhail; Mazorchuk, Volodymyr; Stroppel, Catharina, A brief review of abelian categorifications, Theory Appl. Categ., 2009, 22 (19): 479–508, arXiv:math.RT/0702746  

閱讀更多

• A blog post by one of the above authors (Baez): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.