說謊者的撲克牌

說謊者的撲克牌是一個結合統計判斷與虛張聲勢的酒吧遊戲，它使用美鈔上的八位流水號進行遊戲。玩家只需要任意找出數張紙幣。遊戲的目標是猜出某個數字個數，並且不超過所有玩家手中鈔票流水號中該數字個數的總和。數字通常依以下順序排列：2，3，4，5，6，7，8，9，0（10）與1（最大牌）。若第一位玩家叫三個6，那麼他預計包括他本人所有玩家手裡至少有三個6。下一位玩家需要增加牌序（三個7）或增加數字個數（四個5），或提出異議。當所有玩家都對某人的叫牌表示異議時遊戲結束。如果這個叫牌是正確的，他將從其他玩家手裡贏錢，但如果是錯誤的，則他輸給每人一定數量的錢。

說謊者的撲克牌的概率

遇到異議時達到過關所需數字的數目的概率服從以下兩個規則：

規則1，P（至少出現X個C的概率）= 1 - binomcdf (Y , 0.1 , X-1)
其中：
X = 所需數字的數目
C = 所需數字，其出現概率為1/10 = 0.1
Y = 未知數字的個數，等於其他玩家人數乘以8
binomcdf為離散二項分布

例一：兩人遊戲，你想測定對方有至少兩個6的概率。
P（至少有兩個6的概率）= 1 - binomcdf (8 , 0.1 , 1) = 0.18670...
所以有18.69%的概率對方有至少兩個6。

例二：五人遊戲，你想測定其他玩家是否有至少四個7。
P（至少有四個7的概率）= 1 - binomcdf (32 , 0.1 , 3) = 0.3997...
所以你有39.97%的概率其他四個玩家有至少四個7。

規則2，為計算至少出現X個C的概率，你要減去從X=1到X=X-1的概率。

P(X個C的概率) = Y ⁿC_r X x 0.1^X x 0.9^Y-X
其中:
X = 所需數字的個數
C = 所需數字，其出現概率為1/10 = 0.1
Y = 未知數字的個數，等於其他玩家人數乘以8

例：兩人遊戲，你要測定對方是否有至少兩個6。
P（至少兩個6） = 1 - P（沒有6） - P（只有一個6）
P（沒有6） = 8ⁿC_r0 x 0.1⁰ x 0.9⁸ = 0.4305
P（只有一個6） = 8ⁿC_r1 x 0.1¹ x 0.9⁷ = 0.3826

P(至少兩個6) = 1 - 0.4305 - 0.3826 = 0.18670...
因此有18.69%的概率對方有至少兩個6。

兩人至六人遊戲中某一數字至少需要個數的全概率分布。

至少需要個數 / 其他玩家數	-- 1 玩家 --	-- 2玩家--	-- 3玩家--	-- 4玩家--	-- 5玩家--
1	0.56	0.81	0.92	0.97	0.99
2	0.19	0.49	0.71	0.84	0.92
3	0.04	0.21	0.44	0.63	0.78
4	0.01	0.07	0.21	0.40	0.58
5	0.00	0.05	0.09	0.21	0.37
6	0.00	0.00	0.03	0.09	0.21
7	0.00	0.00	0.01	0.04	0.10
8	0.00	0.00	0.00	0.01	0.04

例如，如果你還需要三個特定數字，在兩人遊戲中你得到它的概率是4%，三人遊戲為21%，四人遊戲為44%，依此類推。

遊戲策略

像一般的撲克遊戲一樣，說謊者的撲克牌遊戲中到處都是欺騙。如果玩家想玩轉這個遊戲，需要充分掌握其中一些基於數學原理的策略。

遊戲中玩家可能會遇到進退兩難（damned if I do, damned if I don't）的選擇。如果你提出異議則必定會輸，但要是繼續叫牌則必定被人提出異議。此時如果是兩人遊戲你永遠都應繼續叫牌，三人遊戲中若你叫牌成功的概率高於25%則繼續，四人遊戲中高於33.33%則繼續，換句話說，在n人遊戲中當你繼續叫牌成功概率大於(n-2)/(2n-2)時，你都應繼續叫牌。

例：五人遊戲，你的流水號為53653158。上家叫牌為七個3，你認為這很有可能，因為你自己就有兩個3。你可以繼續往上叫牌七個5。你此時還需四個5，這一概率為40%。此時的策略應是如果你的概率（40%）高於(n-2)/(2n-2)，n為所有玩家數，你要繼續向高處叫牌。此時(5-2) / (2x5 -2) = 0.375x100% = 37.5%<40%，所以在統計學上你應繼續叫牌。

	2人遊戲	3人遊戲	4人遊戲	5人遊戲	6人遊戲
(n-2)/(2n-2)	總是繼續	0.25	0.33	0.38	0.40
允許的最大所需數目	總是繼續	2或更少	3或更少	4或更少	4或更少

如上所述，說謊者的撲克牌處處都是欺騙，因此你不應該嚴格的遵守以上統計策略。

遊戲示例

如果玩家都嚴格遵循以上數學模型，遊戲將有可能如下進行。記住遊戲中數字的大小從低到高按2-3-4-5-6-7-8-9-0-1順序排列。

玩家1: 21068274
玩家2: 44789800
玩家3: 27706500
玩家4: 63523655

玩家1 開始

玩家1: 三個2（自己有兩個2 - 92%的概率其他人至少有一個2）
玩家2: 四個4（自己有兩個4 - 71%的概率其他人至少有兩個4）
玩家3: 四個0（自己有三個0 - 92%的概率其他人至少有一個0）
玩家4: 五個5（自己有三個5 - 71%的概率其他人至少有兩個5）
玩家1: 異議（其他人有至少四個2、6、7或8的概率為21%，而21%<33%）
玩家2: 五個0（自己有兩個0 - 44%的概率其他人至少有三個0）
玩家3: 六個0（自己有三個0 - 44%的概率其他人至少有三個0）
玩家4: 異議（其他人至少有四個5的概率為21%，而21%<33%）
玩家1: 異議（其他人至少有五個2的概率為9%，而9%<33%）
玩家2: 異議（其他人至少有七個4、8或0的概率為1%，而1%<33%）

玩家3被所以人異議，每個人都說出自己0的個數。他們總共有正好有六個0，因此玩家3勝，其他玩家要向其支付賭金。

示例中四位玩家完全理解並遵守數學模型，但這個遊戲充滿了虛張聲勢的欺騙，玩家為了各自的利益，都會試圖影響其他人的判斷，而統計知識只是這一切的基礎。

同名書籍

邁克爾·劉易斯於1989年所著同名書籍《說謊者的撲克牌》，講述其在當時華爾街最大投資銀行所羅門兄弟公司的四年工作經歷，書中詳細描述了交易員們如何玩這個遊戲。該書曾被評為《商業周刊》年度最佳商業圖書。

參考資料

《說謊者的撲克牌》邁克爾‧劉易斯著，孫忠譯，中信出版社2007年1月初版。ISBN 9787508607559
（英文）Probabilities in Liar's Poker（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）