費馬點

在幾何學中，費馬點是位於三角形內的一個點。給定一個三角形 $△ABC$ 的話，從這個三角形的費馬點 $P$ 到三角形的三個頂點 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的距離之和

PA+PB+PC

比從其它點算起的都要小。這個特殊點對於每個給定的三角形都只有一個。

費馬點問題最早是由法國數學家皮埃爾·德·費馬在一封寫給意大利數學家埃萬傑利斯塔·托里拆利（氣壓計的發明者）的信中提出的。^[1]托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀的數學家斯坦納重新發現了這個問題，並系統地進行了推廣，因此這個點也稱為托里拆利點或斯坦納點，相關的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納問題。

源起：費馬的問題

1638年，勒內·笛卡兒邀請費馬思考關於到四個頂點距離為定值的函數的問題。這大概也是1643年，費馬寫信向埃萬傑利斯塔·托里拆利詢問關於費馬點的問題的原因^[1]。費馬的問題是這樣的：

平面上有三個不在同一條直線上的點

A, B, C

，對平面上的另一個點

P

，考慮點

P

到原來的三個點的距離之和：

PA + PB + PC

。是否有這樣一個點

P 0

，使得它到點

A, B, C

的距離之和

P 0 A + P 0 B + P 0 C

比任何其它的

PA + PB + PC

都要小？

這個問題首先被托里拆利解決，但他生前並沒有發表。托里拆利的學生溫琴佐·維維亞尼在1659年將他的遺作整理發表，其中包括了費馬點問題的證明^[2]^:124。他的解法中用到了橢圓的焦點的性質。^[3]^[4]

費馬-托里拆利點

托里拆利的解法中對這個點的描述是：對於每一個角都小於120°的三角形 $ABC$ 的每一條邊為底邊，向外作正三角形，然後作這三個正三角形的外接圓。托里拆利指出這三個外接圓會有一個共同的交點，而這個交點就是所要求的點。這個點和當時已知的三角形特殊點都不一樣。這個點因此也叫做托里拆利點。

1647年，博納文圖拉·卡瓦列里在他的著作《幾何學題集》（Exerciones Geometricae）中也探討了這個問題。他發現，將作正三角形時作出的三個點與對面的頂點連接，可以得出三條線段。這三條線段交於托里拆利點，而且托里拆利點對每條邊張的角都是120°。^[5]

作法及證明

下面是三角形的費馬點的作法：

當有一個內角不小於120°時，費馬點為此角對應頂點。
當三角形的內角都小於120°時
- 以三角形的每一邊為底邊，向外做三個正三角形 $△ABC'$ ， $△BCA'$ ， $△CAB'$ 。
- 連接 $CC'$ 、 $BB'$ 、 $AA'$ ，則三條線段的交點就是所求的點。^[6]

幾何證明

三角形的內角都小於120°的情況：
首先證明 $CC'$ 、 $BB'$ 、 $AA'$ 三條線交於一點。

設 $P$ 為線段 $CC'$ 和 $BB'$ 的交點。注意到三角形 $C'AC$ 和三角形 $BAB'$ 是全等的，三角形 $C'AC$ 可以看做是三角形 $B'AB$ 以 $A$ 點為軸心順時針旋轉60度得到的，所以角 $\angle \mathrm {C'PB}$ 等於60度，和 $\angle \mathrm {C'AB}$ 相等。因此， $A$ 、 $B$ 、 $C'$ 、 $P$ 四點共圓。同樣地，可以證明 $A$ 、 $B'$ 、 $C$ 、 $P$ 四點共圓。於是：

\angle \mathrm {APB} =\angle \mathrm {APC} =120^{\circ }

從而 $\angle \mathrm {CPB} =120^{\circ }$ 。於是可以得出： $A'$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 四點共圓，即

\angle \mathrm {A'PB} =\angle \mathrm {A'CB} =60^{\circ }

\angle \mathrm {APA'} =\angle \mathrm {APB} +\angle \mathrm {A'PB} =120^{\circ }+60^{\circ }

$A$ 、 $A'$ 、 $P$ 三點共線。也就是說 $CC'$ 、 $BB'$ 、 $AA'$ 三條線交於一點。^[6]^[7]^:90

接下來證明交點 $P$ 就是到三個頂點距離之和最小的點。

在線段 $AA'$ 上選擇一點 $Q$ ，使得 $QP$ = $PC$ 。由於 $\angle \mathrm {QPC} =60^{\circ }$ ，所以等腰三角形 $PQC$ 是正三角形。於是 $\angle \mathrm {PCB} =\angle \mathrm {QCA'}$ 。同時 $QC$ = $PC$ 、 $BC$ = $A'C$ ，於是可以得出三角形 $BPC$ 和三角形 $A'QC$ 是全等三角形。所以 $QA'$ = $PB$ 。綜上可得出：

PA + PB + PC

=

AA'

對於平面上另外一個點 $P'$ ，以 $P'C$ 為底邊，向下作正三角形 $P'Q'C$ 。運用類似以上的推理可以證明三角形 $BP'C$ 和三角形 $A'Q'C$ 是全等三角形。因此也有：

P'A + P'B + P'C

=

AP' + P'Q' + Q'A'

平面上兩點之間以直線長度最短。因此

P'A + P'B + P'C

=

AP' + P'Q' + Q'A' \geq AA'

=

PA + PB + PC.

也就是說，點 $P$ 是平面上到點 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 距離的和最短的一點。^[6]^[2]^:124-125

最後證明唯一性。

如果有另外一點 $P'$ 使得 $P'A + P'B + P'C$ = $PA + PB + PC$ ，那麼

AA'

=

AP' + P'Q' + Q'A'

因此點 $P'$ 和 $Q'$ 也在線段 $AA'$ 之上。依照 $P'$ 和 $Q'$ 的定義，可以推出

\angle \mathrm {AP'B} =\angle \mathrm {AP'C} =120^{\circ }

因此 $P'$ 也是 $CC'$ 、 $BB'$ 、 $AA'$ 三條線的交點。因此 $P'$ 點也就是 $P$ 點。因此點 $P$ 是唯一的。^[7]^:92

有一內角大於120°的情況。

如右圖， $\angle \mathrm {BAC}$ 大於120°， $P$ 為三角形內一點。以 $BA$ 為底邊，向上作正三角形 $BAF$ ；以 $PA$ 為底邊，向上作正三角形 $PAQ$ 。於是三角形 $AQF$ 和三角形 $APB$ 是全等三角形。 $FQ$ = $PB$ 。所以

PA + PB + PC

=

FQ + QP + PC.

延長 $FA$ 交 $QC$ 於 $D$ 點，則

FQ + QP + PC > FQ + QC

=

FQ + QD + DC > FD + DC

=

FA + AD + DC > FA + AC

=

AB + AC.

即

PA + PB + PC > AB + AC.

所以 $A$ 點到三頂點的距離比三角形內任意一點到三頂點的距離都小，即 $A$ 點為費馬點。

物理學解釋

費馬的問題也可以用物理的方法來解決。將平面上所給的三個給定點鑽出洞來，再設有三條繩子系在一起，每條繩子各穿過一個洞口，而繩子的末端都綁有一個固定重量 $m$ 的重物。假設摩擦力可以忽略，那麼繩子會被拉緊，而繩結最後會停在平面一點的上方。可以證明，這個點就是三個給定點所對應的費馬點。首先，由於繩長是固定的，而繩子豎直下垂的部分越長，重物的位置也就越低，勢能越低。在平衡態的時候，系統的勢能達到最小值，也就是繩子豎直下垂的部分的長度達到最大值，因此水平的部分的長度達到最小值。而繩子的水平部分的長度就是 $PA + PB + PC$ ，因此這時 $PA + PB + PC$ 最小，也就是達到費馬點。

在系統處於平衡態時，由力學原理可知繩子兩兩之間張成的角度 $\angle \mathrm {APB}$ 、 $\angle \mathrm {BPC}$ 和 $\angle \mathrm {APC}$ 之間滿足合力公式：

{\frac {\sin(\angle \mathrm {APB} )}{\mathbf {m} g}}={\frac {\sin(\angle \mathrm {BPC} )}{\mathbf {m} g}}={\frac {\sin(\angle \mathrm {APC} )}{\mathbf {m} g}}

也就是說這三個角相等，即都是120°。^[6]^[8]^:197-198

推廣

費馬點的定義可以推廣到更多點的情況。設平面上有 $m$ 個點： $P 1, P 2, ... , P m$ ，又有正實數： $λ 1, λ 2, ... , λ m$ 。費馬問題可以推廣為：尋找一個點 $X$ ，使得它到這 $m$ 個點的距離在加權後之和:

\lambda _{1}\cdot XP_{1}+\lambda _{2}\cdot XP_{2}+\cdots +\lambda _{m}\cdot XP_{m}

是最小的。

高維的情況

費馬點問題還可以推廣到高維空間中。比如說在 $n$ 維實向量空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，給定 $m$ 個點： $p 1, p 2, ... , p m$ ，對空間中另一點 $x$ ，設它到前述 $m$ 個點的歐幾里德距離之和為函數 $Dist(x)$ ：

\operatorname {Dist} (x)=\sum _{i=1}^{m}\|x-p_{i}\|

則費馬點問題就變成尋找使得 $Dist(x)$ 最小的一點 $p min \in$ $\mathbb {R} ^{n}$ ^[9]^:236-237。與平面費馬點問題相似，高維情況下的費馬點問題也有由林德羅夫和斯圖姆證明的類似結論^[9]^:237：

使得 $Dist(x)$ 最小點 $p min$ 並且是唯一的。
如果從任何一點 $p i$ 到剩下的 $m-1$ 點方向上的 $m-1$ 個單位向量的向量和長度都大於1，那麼：
- $p min$ 不是 $p 1, p 2, ... , p m$ 中任何一點，
- 從 $p min$ 到 $p 1, p 2, ... , p m$ 方向上的 $m$ 個單位向量的向量和是0。
如果從某一點 $p i$ 到剩下的 $m-1$ 點方向上的 $m-1$ 個單位向量的向量和長度小於等於1，那麼 $p min$ 就是這個點。

對於加權的費馬點問題，也有類似的結論，只需將上述結論中的向量和替換為加權向量和，條件中的1也要替換為對應點的權重^[9]^:249-250。

參見

參考來源

^ ^1.0 ^1.1 P. de Fermat, "Œvres" , I , H. Tannery (ed.), Paris (1891) (Supplement: Paris 1922)
^ ^2.0 ^2.1 O. Bottema. Selected Topics in Elementary Geometry. Springer，第2版，插圖版. 2008. ISBN 9780387781310.
^ E. Torricelli, "Opere" , I/2 , Faënza (1919) pp. 90–97
^ E. Torricelli, "Opere" , III , Faënza (1919) pp. 426–431
^ Clark Kimberling. Shortest connectivity: an introduction with applications in phylogeny. Springer. 2004. ISBN 978-0387235387.
^ ^6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 張雄. 《費馬一一斯坦勒爾問題與平衡態公理》 (PDF). 《數學傳播》: 75–79. [2010-07-25]. （原始內容 (PDF)存檔於2012-11-19）.
^ ^7.0 ^7.1 Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gómez Ortega, Rogelio Valdez Delgado. Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach. Springer, 插圖版. 2009. ISBN 9783034600491.
^ Alexander Ostermann, Gerhard Wanner. Geometry by Its History. Springer. 2012. ISBN 9783642291630.
^ ^9.0 ^9.1 ^9.2 Vladimir Boltyanski, Horst Martini, V. Soltan, V. Valerii Petrovich Soltan. Geometric Methods and Optimization Problems. Springer, 插圖版. 1999. ISBN 9780792354543.

Stefan Hildebrandt,Anthony Tromba. The parsimonious universe: shape and form in the natural world. Springer. 1996. ISBN 978-0387979915.
一个实际的例子，费马点. [2013-03-19]. （原始內容存檔於2020-01-30）（英語）.

[fermat-1] 1.0 ^1.1 P. de Fermat, "Œvres" , I , H. Tannery (ed.), Paris (1891) (Supplement: Paris 1922)

[ob-2] 2.0 ^2.1 O. Bottema. Selected Topics in Elementary Geometry. Springer，第2版，插圖版. 2008. ISBN 9780387781310.

[3] E. Torricelli, "Opere" , I/2 , Faënza (1919) pp. 90–97

[4] E. Torricelli, "Opere" , III , Faënza (1919) pp. 426–431

[5] Clark Kimberling. Shortest connectivity: an introduction with applications in phylogeny. Springer. 2004. ISBN 978-0387235387.

[zx-6] 6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 張雄. 《費馬一一斯坦勒爾問題與平衡態公理》 (PDF). 《數學傳播》: 75–79. [2010-07-25]. （原始內容 (PDF)存檔於2012-11-19）.

[moa-7] 7.0 ^7.1 Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gómez Ortega, Rogelio Valdez Delgado. Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach. Springer, 插圖版. 2009. ISBN 9783034600491.

[8] Alexander Ostermann, Gerhard Wanner. Geometry by Its History. Springer. 2012. ISBN 9783642291630.

[gm-9] 9.0 ^9.1 ^9.2 Vladimir Boltyanski, Horst Martini, V. Soltan, V. Valerii Petrovich Soltan. Geometric Methods and Optimization Problems. Springer, 插圖版. 1999. ISBN 9780792354543.

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