貝塞爾過程

在數學中，貝塞爾過程（Bessel process）是一種隨機過程，以弗里德里希·貝塞爾命名。

正式定義

貝塞爾過程的三個例子

設$W_{t}$是從原點開始的$n$維的維納過程（布朗運動），則其歐幾里得範數$X_{t}=\|W_{t}\|$就定義為$n$階貝塞爾過程。$n$階貝塞爾過程也是以下隨機微分方程的解

$dX_{t}=dZ_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {dt}{X_{t}}}$

其中$Z_{t}$是1維維納過程（布朗運動）。注意這個隨機微分方程對任意實參數$n$都有意義（儘管漂移項在零處是奇異的）。因為之前假設$W_{t}$從原點開始，所以初始條件為$X_{t}=0$。

從零開始的$n$階貝塞爾過程記做${\text{BES}}_{0}(n)$

參考資料

• Øksendal, Bernt (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
• Williams D. (1979) Diffusions, Markov Processes and Martingales, Volume 1 : Foundations. Wiley. ISBN 0-471-99705-6.