通量

通量（英語：Flux），或稱流束是通過一個表面或一個物質的量，是一個物理學和應用數學的概念。在熱學和流體力學領域中，研究輸運現象時，是指在單位時間內通過單位面積的具有方向的流量，它是一個向量；在電磁學領域中，是指在單位面積上垂直於其表面的磁場或電場的強度，它是一個標量。

向量場F的場線通過具有單位法線n的表面，從n到F的角度為θ。通量是多少場通過給定表面的量度。F被分解為與n垂直（⊥）和平行（‖）的分量。只有平行分量對通量有貢獻，因為它是在一個點處穿過表面的場的最大範圍，垂直分量沒有貢獻。 上圖：通過平面的三條磁力線，一條垂直於表面，一條平行，一條中間 。下圖：通過曲面的磁力線，顯示單位法線和表面元素的設置以計算通量。

為了計算通過表面S的矢量場F（紅色箭頭）的通量，將表面分成小塊dS。通過每個面片的通量等於場的法線（垂直）分量，即F(x)與點x處的單位法向量n(x)（藍色箭頭）乘以面積dS的內積。 表面上每個小塊的F • n, dS之和是通過表面的通量。

給定一個三維空間中的向量場$\mathbf {A}$以及一個簡單有向曲面$\Sigma$，則向量場$\mathbf {A}$通過曲面$\Sigma$的通量就是曲面每一點$x$上的場向量$\mathbf {A} (x)$在曲面法向方向上的分量的積分:

$\Phi _{\mathbf {A} }(\Sigma )=\iint \limits _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S$

其中$\mathrm {d} S$是積分的面積元，n是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量。如果曲面是封閉的，例如球面，那麼通常約定法向量是從裡朝外的，所以這時候的通量是描述曲面上的場向量朝外的程度。

術語

通量這個詞源於拉丁語：fluxus 意為「流」，fluere 是「流動」的意思。而 fluxion 一詞是由牛頓引入微積分。

熱通量的概念是約瑟夫·傅立葉對熱傳遞現象分析的重要貢獻之一。他的重要著作《熱的分析理論》（英語：The Analytical Theory of Heat）中，將 fluxion 定義為一個核心量，並推導出了現在的通量表達式。這些表達式與平板的溫度差異有關，且更廣義地在其他幾何形狀的溫度梯度或溫度差異有關。根據詹姆斯·克拉克·馬克士威的研究，可以顯示其傳輸的定義早於磁通量定義。馬克士威的具體引言是：

In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface.（中文：就通量而言，我們必須以通過表面的每個通量對其表面取積分。這個操作的結果即通量的曲面積分。它呈現的是通過該表面的量。）

—— 詹姆斯·克拉克·馬克士威

根據傳輸的定義，通量可為單一向量，也可以是位置的向量場／函數。後者的通量可以很容易地在一個表面上積分。相比之下，根據電磁學定義，通量是對表面的積分；對於第二種定義的通量進行積分是沒有意義的，因為這樣會對表面進行兩次積分。因此，馬克士威的引言只有在「通量」按照傳輸定義使用時才有意義（進一步來說，是向量場而不是單一向量）。這很諷刺，因為馬克士威是我們現在所稱的「電通量」和「磁通量」的主要發展者之一，而這些名稱是根據電磁學定義來的。根據該引言（和傳輸定義），它們應該被稱為「電通量的曲面積分」和「磁通量的曲面積分」。在這種情況下，「電通量」應定義為「電場」，「磁通量」應定義為「磁場」。這意味著馬克士威將這些場視為某種形式的流動／通量。

根據電磁學定義的通量，其相應的通量密度（假設使用這個術語）指的是沿積分表面的導數。根據微積分基本定理，相應的通量密度是根據傳輸定義的通量。給定一個流，例如電流——每單位時間的通電量，電流密度根據傳輸定義也是一個通量——每單位時間每單位面積的通電量。由於通量的定義衝突，以及在非技術性英語中通量、流動和電流的互換性，本文中的所有術語有時會被互相使用且可能含義模糊。本文其餘部分中具體的通量將根據其在文獻中的廣泛接受度來使用，無論該術語對應哪種通量的定義。

以單位面積流量表示的通量

在輸送現象（熱傳、質傳和流體動力學），通量被定義為「每單位面積的流量的流動率」，其因次組成為 量 (物理)·[時間]⁻¹·[面積]⁻¹。這個面積是流「通過」或「穿過」的表面。例如，每秒鐘流經河流橫截面的水量除以橫截面的面積，或是每秒鐘落在地面一塊區域上的陽光能量除以該區域的面積，都是通量的例子。

一般數學定義（傳輸）

以下是按複雜度遞增的三個定義。每個定義都是下面這個的一個特例。在所有情況下，常用符號 ${\textstyle j}$（或 ${\textstyle J}$）表示通量，${\textstyle q}$ 表示流動的物理量，${\textstyle t}$ 表示時間，${\textstyle A}$ 表示面積。當且唯當這些標識符是向量時，它們將以粗體顯示。

首先，通量作為一個（單一的）純量時：

$$j={\frac {I}{A}}$$

其中

$$I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}$$

在這種情況下，測量固定的通量的表面，且具有面積$A$。假設該表面是平坦的，而流量在各處相對於位置是恆定的，並且垂直於表面。

其次，通量作為沿著表面定義的純量場，即作為表面上各點的函數：

$$j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),$$$$I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).$$

如上所述，假設表面是平坦的，且流量在各處都垂直於表面。然而，流不需要是恆定的。此時，$q$ 是 p（表面上的一個點）的函數，面積 $A$亦是。與其測量通過整個表面的總流量，不如 $q$ 測量的是以 p 為中心、沿表面上面積 A 的圓盤通過的流量。

最後，通量作為一個向量場時： $$\mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),$$ $$\mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).$$

在這種情況下，我們沒有固定的表面來測量。$q$ 是一個點、面積和方向（由單位向量 $\mathbf {\hat {n}}$ 給定）的函數，並測量與該單位向量垂直的面積 A 的圓盤中的流量。$I$ 的定義是選擇使該點周圍流量最大的單位向量，因為真正的流量在垂直於該單位向量的圓盤上達到最大值。因此，當單位向量指向流動的「真正方向」時，它唯一地最大化該函數。（嚴格來說，這是一種濫用符號，因為「arg max」無法直接比較向量；我們改為選擇具有最大範數的向量。）

性質

這些直接的定義，尤其是最後一個，顯得相對不完善。例如，從經驗測度來看，arg max 的構造是人工的，而使用風向標或類似工具可以簡單推斷出某一點的通量方向。與其直接定義向量通量，通常更直觀的是陳述一些關於它的性質。此外，通量可以根據這些性質唯一確定。

若通量 j 以角度 $\theta$ 通過（$\theta$為該通量與該面積法向量 $\mathbf {\hat {n}}$ 形成之夾角），則其點積為： $$\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta$$

也就是說，通過表面的通量分量（即垂直於表面的分量）是 $j\cos {\theta }$，而沿切向通過表面的通量分量是 $j\sin {\theta }$，但實際上沒有通量沿切向通過表面。唯一通過且垂直表面的通量分量是其餘弦分量。

對於向量通量，通量 j在表面 $S$上的曲面積分給出了每單位時間通過該表面的適當流量： $${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A}$$

其中 A（及其無窮小量）是向量面積—— $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$ 的組合，結合了面積 A 的大小和垂直於該面的單位向量 $\mathbf {\hat {n}}$ 。與第二組方程式不同的是，這裡不需要平坦的表面。

參見

• 流量
• 光通量
• 磁通量
• 電通量