門格海綿(英語:Menger sponge、英語:Menger universal curve)是分形的一種。它是一個通用曲線,因為它的拓撲維數為一,且任何其它曲線都與門格海綿的某個子集同胚。它有時稱為門格-謝爾賓斯基海綿謝爾賓斯基海綿。它是康托爾集謝爾賓斯基地毯在三維空間的推廣。它首先由奧地利數學家卡爾·門格在1926年描述,當時他正在研究拓撲維數的概念。

門格海綿

結構

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門格海綿的結構可以用以下方法形象化:

  1. 從一個正方體開始。(第一張圖像)
  2. 把正方體的每一個面分成9個正方形。這將把正方體分成27個小正方體,像魔方一樣。
  3. 把每一面的中間的正方體去掉,把最中心的正方體也去掉,留下20個正方體(第二張圖像)。
  4. 把每一個留下的小正方體都重複第1-3個步驟。

把以上的步驟重複無窮多次以後,得到的圖形就是門格海綿。

 

性質

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門格海綿的每一個面都是謝爾賓斯基地毯;同時,門格海綿與原先立體的任何一條對角線的交集都是康托爾集

門格海綿是一個閉集;由於它也是有界的,根據海涅-博雷爾定理,它是一個緊集。更進一步,門格海綿是不可數集,且具有勒貝格測度0。

門格海綿的拓撲維數是一,與任何曲線一樣。門格在1926年證明了,它是一個通用曲線,就是說任何一維曲線都與門格海綿的一個子集同胚,這裡的曲線是指任何勒貝格覆蓋維數為一的度量空間

門格海綿的豪斯多夫維為(ln 20) / (ln 3)(大約2.726833)。

門格海綿的表面積無窮大。

正式定義

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正式地,門格海綿可以定義如下:

 

其中M0單位立方體,且:

 且i、j和k中最多只有一個等於1。

參見

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參考文獻

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  • Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
  • Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.

外部連結

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