齊夫定律

齊夫定律（英語：Zipf's law，IPA：/ˈzɪf/）是由哈佛大學的語言學家喬治·金斯利·齊夫於1949年發表的實驗定律。它可以表述為：在自然語言的語料庫裡，一個單詞出現的頻率與它在頻率表里的排名成反比。所以，頻率最高的單詞出現的頻率大約是出現頻率第二位的單詞的2倍，而出現頻率第二位的單詞則是出現頻率第四位的單詞的2倍。這個定律被作為任何與冪定律概率分布有關的事物的參考。

齊夫定律

機率質量函數 橫縱坐標均為對數比例下，齊夫定律的概率質量函數的圖像，其中N = 10。橫坐標是指數k 。（注意，函數僅在k為整數時有定義，圖上的連線不代表函數連續。）
累積分布函數 橫縱坐標均為對數比例下，齊夫定律的累計分布函數的圖像，其中N = 10。橫坐標是指數k 。（注意，函數僅在k為整數時有定義，圖上的連線不代表函數連續。）
參數	$s>0\,$（實數） $N\in \{1,2,3\ldots \}$（正整數）
值域	$k\in \{1,2,\ldots ,N\}$
機率質量函數	${\frac {1/k^{s}}{H_{N,s}}}$
累積分布函數	${\frac {H_{k,s}}{H_{N,s}}}$
期望值	${\frac {H_{N,s-1}}{H_{N,s}}}$
眾數	$1\,$
熵	${\frac {s}{H_{N,s}}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {\ln(k)}{k^{s}}}+\ln(H_{N,s})$
動差母函數	${\frac {1}{H_{N,s}}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{nt}}{n^{s}}}$
特徵函數	${\frac {1}{H_{N,s}}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{int}}{n^{s}}}$

例子

最簡單的齊夫定律的例子是「1/f function」。給出一組齊夫分布的頻率，按照從最常見到非常見排列，第二常見的頻率是最常見頻率的出現次數的½，第三常見的頻率是最常見的頻率的1/3，第n常見的頻率是最常見頻率出現次數的1/n。然而，這並不精確，因為所有的項必須出現一個整數次數，一個單詞不可能出現2.5次。

在布朗語料庫中，「the」、「of」、「and」是出現頻率最前的三個單詞，其出現的頻數分別為69971次、36411次、28852次，大約佔整個語料庫100萬個單詞中的7%、3.6%、2.9%，其比例約為6：3：2。大約佔整個語料庫的7%（100萬單詞中出現69971次）。滿足齊夫定律中的描述。僅僅前135個字彙就佔了Brown語料庫的一半。

齊夫定律是一個實驗定律，而非理論定律，可以在很多非語言學排名中被觀察到，例如不同國家中城市的數量、公司的規模、收入排名等。但它的起因是一個爭論的焦點。齊夫定律很容易用點陣圖觀察，坐標分別為排名和頻率的對數（log）。比如，「the」用上述表述可以描述為x = log(1), y = log（69971）的點。如果所有的點接近一條直線，那麼它就遵循齊夫定律。

遵循該定律的現象

• 英文單詞或中文漢字的出現頻率：不僅適用於語料全體，也適用於單獨的一篇文章
• 網頁訪問頻率
• 城鎮人口與城鎮等級的關係
• 收入前3%的人的收入
• 地震震級
• 固體破碎時的碎片大小

參見

• 經驗公式
• 詞頻效應

延伸閱讀

主要:

• George K. Zipf（1949）Human Behavior and the Principle of Least Effort. Addison-Wesley.
• George K. Zipf (1935) The Psychobiology of Language. Houghton-Mifflin.（see citations at http://citeseer.ist.psu.edu/context/64879/0）

次要:

• Lada Adamic. Zipf, Power-laws, and Pareto - a ranking tutorial. http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking/ranking.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Alexander Gelbukh and Grigori Sidorov (2001) "Zipf and Heaps Laws』 Coefficients Depend on Language" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Proc. CICLing-2001, Conference on Intelligent Text Processing and Computational Linguistics, February 18–24, 2001, Mexico City. Lecture Notes in Computer Science N 2004, ISSN 0302-9743, ISBN 3-540-41687-0, Springer-Verlag: 332–335.
• Damián H. Zanette (2006) "Zipf's law and the creation of musical context," Musicae Scientiae 10: 3-18.
• Kali R. (2003) "The city as a giant component: a random graph approach to Zipf's law," Applied Economics Letters 10: 717-720（4）
• Gabaix, Xavier. Zipf's Law for Cities: An Explanation (PDF). Quarterly Journal of Economics. August 1999, 114 (3): 739–67 [2014-02-05]. ISSN 0033-5533. doi:10.1162/003355399556133. （原始內容存檔 (PDF)於2021-02-24）. 
• Axtell, Robert L; Zipf distribution of US firm sizes （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Science, 293, 5536, 1818, 2001, American Association for the Advancement of Science

外部連結

• Steven, Strogatz. Guest Column: Math and the City. The New York Times. 2009-05-29 [2009-05-29]. （原始內容存檔於2015-09-27）. —An article on Zipf's law applied to city populations
• Seeing Around Corners (Artificial societies turn up Zipf's law) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• PlanetMath article on Zipf's law（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Distributions de type "fractal parabolique" dans la Nature (French, with English summary)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• An analysis of income distribution （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Zipf List of French words
• Zipf list for English, French, Spanish, Italian, Swedish, Icelandic, Latin, Portuguese and Finnish from Gutenberg Project and online calculator to rank words in texts
• Citations and the Zipf–Mandelbrot's law （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Zipf's Law for U.S. Cities （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Fiona Maclachlan, Wolfram Demonstrations Project.
• 埃里克·韋斯坦因. Zipf's Law. MathWorld. 
• Zipf's Law examples and modelling (1985)
• Complex systems: Unzipping Zipf's law (2011) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Benford’s law, Zipf’s law, and the Pareto distribution （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Terence Tao.