1 − 2 + 4 − 8 + …

數學中,1 − 2 + 4 − 8 + …是一個無窮級數,它的每一項都是2的冪而加減號則是交錯地排列。作為幾何級數, 它以 1 為首項,-2為公比。

作為實數級數,它發散到無窮,所以在一般意義下它的和不存在。在更廣泛的意義下,這一級數有一個廣義的和為⅓。

歷史上的爭論

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戈特弗里德·萊布尼茨於1673年已經細想過1 − 2 + 4 − 8 + …這個交替的發散級數。他認為經過從右邊或左邊相減,分別可以得到正無限及負無限,所以兩個答案都是錯的,而整個級數必為有限:

"如果兩個結論里沒有一個是可被接受的,或者說因為無法判斷哪個結論可被接受,自然一般會選擇處在兩個結論中間的結論,所以這個級數和是一個有限數。"

萊布尼茲並不是非常肯定這個級數有,但是他根據墨卡托方法推測它和⅓有關係。[1]在十八世紀,「一個數項級數的和可能等於一個並不是其逐項疊加的結果的有限數」是一個十分普通的觀點,儘管現代數學觀點同當時的觀點並沒有任何分別。[2]

克里斯提安·沃爾夫在1712年閱讀了萊布尼茲對格蘭迪級數的解法後,[3] 他對此解法非常滿意,並設法通過這種方法去尋求更多解決發散級數問題的數學方法(如 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − …)。簡明地說,如果某人以倒數第二項的函數來表示級數的部分和的話,他得到的結果會是 或者  。 這些值的平均值是 ,然後假設m = n ,討論到無限後就得到了級數和是 ⅓ 。萊布尼茲的直覺在這時讓他避免了在沃爾夫的解法上費力氣。他給沃爾夫回信,說他的解法有點意思,但是因幾個原因而無效。 相鄰的兩個部分和並不收斂到任何一個特定值上,同時在任何有限條件下都有n = 2m,而不是n = m。總之,可求和級數的項最終都應收斂到零;即使 1 − 1 + 1 − 1 + … 也可以被表示成這種級數的極限。萊布尼茲勸沃爾夫再好好考慮一下,認為他說不定「可以搞出一些於他於科學都有價值的東西。」[4]

現代方法

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等比數列

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任何具有規律性、線性和穩定性的求和方法都能對等比數列(幾何級數)求和

 .

在這種情況下 a = 1 且 r = −2,所以級數和是 ⅓。

歐拉求和

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在他1755年的《Institutiones》上,萊昂哈德·歐拉採用了現在被稱為歐拉變換的方式處理1 − 2 + 4 − 8 + …,得到了收斂級數½ − ¼ + ⅛ − 1/16 + …。因為後者的和為⅓,歐拉得出結論,認為1 − 2 + 4 − 8 + … = ⅓[5]他對於無窮級數的看法不太遵循現代方法。如今,我們稱1 − 2 + 4 − 8 + …歐拉可求和,其歐拉和是⅓。[6]

 
Institutiones》節選

歐拉變換以正項序列開始:

a0 = 1,
a1 = 2,
a2 = 4,
a3 = 8, ….

前向差分序列是

Δa0 = a1a0 = 2 − 1 = 1,
Δa1 = a2a1 = 4 − 2 = 2,
Δa2 = a3a2 = 8 − 4 = 4,
Δa3 = a4a3 = 16 − 8 = 8, …,

這一序列與上一序列正好相同。因此對於每一n,迭代前向差分序列均以Δna0 = 1開始。級數的歐拉變換如下:

 

上述級數是一收斂等比級數,按常規求和公式得出其和為⅓。

博雷爾和

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1 − 2 + 4 − 8 + …博雷爾和也是 ⅓;博雷爾於1896年介紹了博雷爾和極限的公式,這是他在關於1 − 1 + 1 − 1 + …[7]後的首個實例之一。

注釋

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  1. ^ Leibniz pp.205-207; Knobloch pp.124-125. 引自《De progressionibus intervallorum tangentium a vertice》,拉丁語原文:「Nunc fere cum neutrum liceat, aut potius cum non possit determinari utrum liceat, natura medium eligit, et totum aequatur finito.」
  2. ^ Ferraro and Panza,第21頁
  3. ^ 沃爾夫第一次對信件的引用是發表在《Acta Eruditorum》的來自德國哈雷的一封信中,日期為1712年6月12日;Gerhardt,第143-146頁。
  4. ^ 引言是Moore的解釋(第2-3頁);出自Gerhardt pp.147-148萊布尼茲的信,日期為1712年7月13日,來自漢諾威
  5. ^ Euler p.234
  6. ^ 參見Korevaar p.325
  7. ^ Smail p. 7.

參考資料

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