在數學中,斯梅爾A公理(Smale's axiom A)確定了一類相對容易理解的動力系統。一個著名的例子是斯梅爾馬蹄鐵映射。術語「A公理」是斯蒂芬·斯梅爾起的。

定義

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設M是光滑流形 是M到自身的微分同胚。以下兩個條件合在一起稱為A公理:

  1.  非遊蕩集 雙曲緊集
  2.  周期點 稠密

滿足A公理的微分同胚稱為A公理微分同胚。若M是二維曲面,則非遊蕩集的雙曲性蘊含了周期點的稠密性,但對三維以上的流形則不成立。儘管如此,A公理微分同胚有時仍被稱作雙曲微分同胚,因為M上發生有趣的動力學的部分,即 ,表現出雙曲的行為。

A公理微分同胚是莫爾斯-斯梅爾系統的推廣,後者有更多的限制(有限的周期點,穩定、不穩定子流形的橫截性)。斯梅爾馬蹄鐵映射是具有無限周期點和正的拓撲熵的A公理微分同胚。

性質

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所有阿諾索夫微分同胚都滿足A公理。對於這種情況,整個流形M就是雙曲的(儘管還不知道非遊蕩集 是否構成了整個M)。

Rufus Bowen證明了A公理微分同胚的非遊蕩集 都有馬爾可夫劃分

非遊蕩集中的周期點的稠密性蘊含了局部極大性:存在 的開鄰域U使得

 

ω穩定性

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A公理系統有一個重要的性質:對微小擾動的結構穩定性。就是說,對系統施加一個微小的擾動,擾動後的系統與未擾動的系統之間有一對一的拓撲對應,把擾動後系統的軌道變成未擾動系統的軌道。這個性質的重要性在於,它表明了A公理系統不是特例,在某種意義上是「普遍的」。

更精確地說,對 的連續可微的擾動 ,非遊蕩集由兩個緊緻的 -不變子集 組成。第一個子集同胚於 ,同胚映射h滿足:

 

 是空集,則h是到 上的滿射。若對任意擾動 都是這種情況則稱f是ω穩定的。微分同胚 是ω穩定的當且僅當 滿足A公理與無環條件(軌道一旦離開某個不變子集就不再返回這個子集)。

參考資料

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  • Abraham and Marsden, Foundations of Mechanics (1978) Benjamin/Cummings Publishing, see Section 7.5
  • Ruelle, David (1978). Thermodynamic formalism. The mathematical structures of classical equilibrium. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 5. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13504-3. Zbl 0401.28016.
  • Ruelle, David (1989). Chaotic evolution and strange attractors. The statistical analysis of time series for deterministic nonlinear systems. Lezioni Lincee. Notes prepared by Stefano Isola. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36830-8. Zbl 0683.58001.