A公理

在數學中，斯梅爾A公理（Smale's axiom A）確定了一類相對容易理解的動力系統。一個著名的例子是斯梅爾馬蹄鐵映射。術語「A公理」是斯蒂芬·斯梅爾起的。

定義

設M是光滑流形，$f:M\to M$是M到自身的微分同胚。以下兩個條件合在一起稱為A公理：

1. $f$的非遊蕩集$\Omega (f)$是雙曲的緊集。
2. $f$的周期點在$\Omega (f)$中稠密。

滿足A公理的微分同胚稱為A公理微分同胚。若M是二維曲面，則非遊蕩集的雙曲性蘊含了周期點的稠密性，但對三維以上的流形則不成立。儘管如此，A公理微分同胚有時仍被稱作雙曲微分同胚，因為M上發生有趣的動力學的部分，即$\Omega (f)$，表現出雙曲的行為。

A公理微分同胚是莫爾斯-斯梅爾系統的推廣，後者有更多的限制（有限的周期點，穩定、不穩定子流形的橫截性）。斯梅爾馬蹄鐵映射是具有無限周期點和正的拓撲熵的A公理微分同胚。

性質

所有阿諾索夫微分同胚都滿足A公理。對於這種情況，整個流形M就是雙曲的（儘管還不知道非遊蕩集$\Omega (f)$是否構成了整個M）。

Rufus Bowen證明了A公理微分同胚的非遊蕩集$\Omega (f)$都有馬爾可夫劃分。

非遊蕩集中的周期點的稠密性蘊含了局部極大性：存在$\Omega (f)$的開鄰域U使得

$\bigcap _{n\in \mathbb {Z} }{f^{n}(U)}=\Omega (f)$

ω穩定性

A公理系統有一個重要的性質：對微小擾動的結構穩定性。就是說，對系統施加一個微小的擾動，擾動後的系統與未擾動的系統之間有一對一的拓撲對應，把擾動後系統的軌道變成未擾動系統的軌道。這個性質的重要性在於，它表明了A公理系統不是特例，在某種意義上是「普遍的」。

更精確地說，對$f$的連續可微的擾動$f_{\varepsilon }$，非遊蕩集由兩個緊緻的$f_{\varepsilon }$-不變子集$\Omega _{1},\Omega _{2}$組成。第一個子集同胚於$\Omega (f)$，同胚映射h滿足：

$f_{\varepsilon }\circ h(x)=h\circ f(x),\quad \forall x\in \Omega (f)$

若$\Omega _{2}$是空集，則h是到$\Omega (f_{\varepsilon })$上的滿射。若對任意擾動$f_{\varepsilon }$都是這種情況則稱f是ω穩定的。微分同胚$f$是ω穩定的當且僅當$f$滿足A公理與無環條件（軌道一旦離開某個不變子集就不再返回這個子集）。

參考資料

• Abraham and Marsden, Foundations of Mechanics (1978) Benjamin/Cummings Publishing, see Section 7.5
• Ruelle, David (1978). Thermodynamic formalism. The mathematical structures of classical equilibrium. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 5. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13504-3. Zbl 0401.28016.
• Ruelle, David (1989). Chaotic evolution and strange attractors. The statistical analysis of time series for deterministic nonlinear systems. Lezioni Lincee. Notes prepared by Stefano Isola. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36830-8. Zbl 0683.58001.