A公理

在数学中，斯梅尔A公理（Smale's axiom A）确定了一类相对容易理解的动力系统。一个著名的例子是斯梅尔马蹄铁映射。术语“A公理”是斯蒂芬·斯梅尔起的。

定义

设M是光滑流形， $f:M\to M$ 是M到自身的微分同胚。以下两个条件合在一起称为A公理：

$f$ 的非游荡集 $\Omega (f)$ 是双曲的紧集。
$f$ 的周期点在 $\Omega (f)$ 中稠密。

满足A公理的微分同胚称为A公理微分同胚。若M是二维曲面，则非游荡集的双曲性蕴含了周期点的稠密性，但对三维以上的流形则不成立。尽管如此，A公理微分同胚有时仍被称作双曲微分同胚，因为M上发生有趣的动力学的部分，即 $\Omega (f)$ ，表现出双曲的行为。

A公理微分同胚是莫尔斯-斯梅尔系统的推广，后者有更多的限制（有限的周期点，稳定、不稳定子流形的横截性）。斯梅尔马蹄铁映射是具有无限周期点和正的拓扑熵的A公理微分同胚。

性质

所有阿诺索夫微分同胚都满足A公理。对于这种情况，整个流形M就是双曲的（尽管还不知道非游荡集 $\Omega (f)$ 是否构成了整个M）。

Rufus Bowen证明了A公理微分同胚的非游荡集 $\Omega (f)$ 都有马尔可夫划分。

非游荡集中的周期点的稠密性蕴含了局部极大性：存在 $\Omega (f)$ 的开邻域U使得

$\bigcap _{n\in \mathbb {Z} }{f^{n}(U)}=\Omega (f)$

ω稳定性

A公理系统有一个重要的性质：对微小扰动的结构稳定性。就是说，对系统施加一个微小的扰动，扰动后的系统与未扰动的系统之间有一对一的拓扑对应，把扰动后系统的轨道变成未扰动系统的轨道。这个性质的重要性在于，它表明了A公理系统不是特例，在某种意义上是“普遍的”。

更精确地说，对 $f$ 的连续可微的扰动 $f_{\varepsilon }$ ，非游荡集由两个紧致的 $f_{\varepsilon }$ -不变子集 $\Omega _{1},\Omega _{2}$ 组成。第一个子集同胚于 $\Omega (f)$ ，同胚映射h满足：

$f_{\varepsilon }\circ h(x)=h\circ f(x),\quad \forall x\in \Omega (f)$

若 $\Omega _{2}$ 是空集，则h是到 $\Omega (f_{\varepsilon })$ 上的满射。若对任意扰动 $f_{\varepsilon }$ 都是这种情况则称f是ω稳定的。微分同胚 $f$ 是ω稳定的当且仅当 $f$ 满足A公理与无环条件（轨道一旦离开某个不变子集就不再返回这个子集）。

参考资料

Abraham and Marsden, Foundations of Mechanics (1978) Benjamin/Cummings Publishing, see Section 7.5
Ruelle, David (1978). Thermodynamic formalism. The mathematical structures of classical equilibrium. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 5. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13504-3. Zbl 0401.28016.
Ruelle, David (1989). Chaotic evolution and strange attractors. The statistical analysis of time series for deterministic nonlinear systems. Lezioni Lincee. Notes prepared by Stefano Isola. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36830-8. Zbl 0683.58001.