LOCC 是 Local Operations(局域操作)and Classical Communications(經典通訊)的縮寫,它是一種用在量子信息上、對量子態進行操作的方法。簡單的說,當一個量子系統被分成許多部份,每個部份的測量和操作只限制在該部分上,各個部分之間允許經典通訊,例如:打電話。許多量子信息的工作必須藉由 LOCC 來完成,例如:假設某次實驗室製備了一個貝爾態,但是卻不能確定這個貝爾態 還是 ,其中

局域操作和經典通訊示意圖

A和B兩個量子位元是分隔兩地的,並且由愛麗絲量子位元A進行操作,由鮑勃量子位元B進行操作。首先愛麗絲測量量子位元A並得到結果0,此時我們仍不知道當初實驗室製備的貝爾態 還是 。這時候愛麗絲藉由打電話把結果告訴鮑勃,接著鮑勃量子位元B進行測量並得到結果0,現在鮑勃得知波函數塌縮成 ,所以推得實驗室製備的貝爾態

糾纏轉換

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將一個量子系統分成兩部分,利用 LOCC 操作,把一個糾纏態轉換成另一個糾纏態。 舉例說明:愛麗絲鮑勃分別擁有一個糾纏態(純態)的一部分,例如  愛麗絲鮑勃都只能對各自的自旋進行操作,也就是Local Operation的意思。當然這個操作也包含測量,當愛麗絲進行Sz的測量後,得到本徵值+ħ/2,波函數塌縮成  ,然後愛麗絲透過電話告訴鮑勃結果,這就是Classical Communications,鮑勃知道結果後也相應做了一個Local Operation,現在鮑勃做σx操作,於是波函數變為  。如果剛才愛麗絲測得本徵值-ħ/2,波函數塌縮成  ,則愛麗絲立即進行σx操作,然後經由電話告訴鮑勃,要求鮑勃不做任何操作,結果仍然可將波函數透過利用LOCC轉換成  

顯然利用 LOCC 把某個態   轉換成  ,A與B之間的糾纏只能變小或維持不變。但是並不是只要  糾纏熵 糾纏熵還小就必定能透過 LOCC 作轉換。要判斷可不可轉,首先,可以把    分別做施密特分解英語Schmidt decomposition

 
 

將Schmidt值由大至小排列然後進行比較。尼爾森(Nielsen)在1999年提出定理[1]:

若Majorization
 ,
對於所有   都成立,則   可利用LOCC轉換成  

然而若上述條件不成立,並不表示 LOCC 轉換必定不成立。如果允許引入催化態,LOCC 轉換仍有可能的。

催化轉換

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Jonathan 和 Plenio 在尼爾森定理發表不久即給出一個催化轉換的例子[2]:考慮

 
 
 

以上三個態已經過施密特分解英語Schmidt decomposition且係數皆由大至小排列,以下進行    驗算係數的前   項之和:

     
0 0.4 0.5
1 0.8 0.65
2 0.9 1.0
3 1.0 1.0

以上表格中,若「  的前   項之和」比「  的前   項之和」小的話,填入綠色;大的話,填入紅色;相等則是留下白色。如此一來,觀察   方向的顏色便一目了然。如果所有顏色皆為綠色,則表示   可經由LOCC轉換成  ;如果所有顏色皆為紅色,則表示   可經由LOCC轉換成  ;如果顏色既有紅色又有綠色,則說明若無催化態便不可轉換。

那麼什麼是「催化轉換」和「催化態」呢?我們考慮直積態   

 
 

以上各項已按照由大至小排列,接著同樣進行製作表格計算前   項之和:

     
0 0.24 0.30
1 0.48 0.50
2 0.64 0.65
3 0.80 0.80
4 0.86 0.90
5 0.92 1.00
6 0.96 1.00
7 1.00 1.00

表格做完馬上看出所有顏色皆為綠色,因此根據尼爾森定理,  透過LOCC轉換成   是可以的。由於   只是從直積態中直接加入然後轉換完畢便可取走,很像化學反應中的催化劑,因此可稱   是催化態。

塔庫定理

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2007年塔庫(Turgut)證明了定理[3]

糾纏轉換和量子多體系統

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[4] [5] [6]

參考文獻

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  1. ^ M. A. Nielsen, Phys. Rev. Lett. 83, 436 - 439 (1999)
  2. ^ D. Jonathan and M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 83, 3566 (1999)
  3. ^ S. Turgut, J. Phys. A: Math. Theor. 40, 12185 (2007)
  4. ^ J. Cui, M. Gu, et al. Quantum phases with differing computational power. Nat. Commun. 3, 812 (2012)頁面存檔備份,存於網際網路檔案館).
  5. ^ F. Franchini, J. Cui, . Amico, H. Fan, M. Gu, V. Korepin, L. C. Kwek, and V. Vedral, Local Convertibility and the Quantum Simulation of Edge States in Many-Body Systems, Phys. Rev. X 4, 041028 (2014)
  6. ^ Y.-C. Tzeng, L. Dai, et al. Entanglement convertibility by sweeping through the quantum phases of the alternating bonds XXZ chain. Sci. Rep. 6, 26453 (2016)頁面存檔備份,存於網際網路檔案館).