討論:外代數

幾點異議

1. 把 $V$ 所屬的域記為 $F$，則 $\forall v\in V,v\wedge v=0$ 和 $\forall u,v\in V,u\wedge v=-v\wedge u$ 的等價性有一個前提：$F$ 的特徵不能是 2。英文版的 en:Grassmann algebra 在一個腳註里提到了這一點。
2. 在條目所給的定義裡面，性質（2）和（3）等價於（1）（姑且不考慮 $\mathrm {ch} F=2$ 的情形），也就是說，三條裡面僅有一條是獨立的。然而，這是不夠的。必須要添加一條：當 $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ 線性無關時，$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\neq 0$。如果沒有這一條，把 $\wedge$ 定義成 $u\wedge v=0$ 對所有的 $u,v\in V$ 都成立的運算，則它滿足條目里的所有要求，但是如此一個代數並不是外代數。
3. 沒有交代 $\Lambda ^{0}(V)$ 同構於 $V$ 所屬的域 $F$。儘管可以從定義裡面推斷出來，不過恐怕還是說一句比較好。
4. 在「泛性質及構造」一節里，雙邊理想 $I$ 應當是由所有形如 $v\otimes v$ 的元素生成的，而不是組成的，因為僅僅由這些元素是構不成一個理想的。
5. 說「雙邊理想 $I$ 屬於 $T(V)$」不太合適，因為這太容易讓人誤認為是說 $I\in T(V)$ 了。
6. 據我所知，在國內很少說「酉結合代數」（我孤陋寡聞，實際上是沒聽說過），更多的是「帶 1 的結合代數」或「帶單位元的結合代數」。
7. $T(V)/I$ 應當是「商代數」，叫成「商」的是不是很少見？

—周彬 (留言) 2009年5月3日 (日) 23:02 (UTC)

1. 關於「酉」和「幺」，在我印象中前者表「正交」的意義，而後者表「單位元」的意義。所以如果想追求簡潔的話，這裡的「酉結合代數」似乎應為「幺結合代數」，這也同「幺半群」的術語一致。

趙志壯 (留言) 2009年5月13日 (三) 07:42 (UTC)

用「幺」這個詞還是比較通用的，我覺得可以註上。「酉」的確切含義似乎也不能說是正交，反正它和英文的 unitary 對應，它一定關聯着複數域上某個線性空間的內積（物理學裡面愛用 Hermitian 內積這個說法）。 周彬 (留言) 2009年5月20日 (三) 14:14 (UTC)

建議

1. 在$k-$階外冪的定義中說明$k=0$和$k=1$這兩種特別情況： $\Lambda ^{0}(V)=F$，$\Lambda ^{1}(V)=V$。
2. 中文版的行文方面，遵照漢語語法規則。特別是表條件的子句應放在表結論的子句前面。

趙志壯 (留言) 2009年5月13日 (三) 07:06 (UTC)

你指的是引言部分吧？在那裡，至少 $k=0$ 的情況應當說明。 周彬 (留言) 2009年5月20日 (三) 14:18 (UTC)

求教

在物理學中對於 Grassmann 代數這個概念講得很含糊，例如，$\Lambda ^{0}(V)$ 是不是被包含在這個代數中就語焉不詳。所以，我的問題就是：在數學中，真地有 Grassmann 代數這個概念呢，還是純粹從物理學中移植過來的？這個問題關係到 Grassmann 代數是不是真地和外代數完全一樣這個問題（如果不同，那就是差一個 $\Lambda ^{0}(V)$），請大家指教。大家在回答的時候最好能給個文獻。 ---- 周彬 (留言) 2009年5月20日 (三) 14:28 (UTC)

結構調整建議

我認為，應該把「泛性質及構造」一節提到最前面。周彬 (留言) 2009年6月10日 (三) 15:41 (UTC)

• 我直接在前面添加了一節，希望大家指正。周彬 (留言) 2009年6月10日 (三) 18:08 (UTC)