一階常微分方程

一階常微分方程是數學中常見而基礎的一類微分方程，通常寫成如下的形式：

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)$

其中的x是要解的未知函數，t是函數的自變量，f是一個已知的連續函數。

一階常微分方程在物理學、生物學、化學以及各種自然與社會科學都能見到，是常見的數學模型的重要構成部分。

一階線性微分方程

主條目：線性微分方程

一階線性微分方程是一階常微分方程中基礎的一類。通常寫成如下形式：

$\forall t\in I,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)+b(t)$

其中I是方程的求解範圍，一般是實數集的子集。a和b是已知的連續函數。如果b是零函數，則稱此方程為齊次的，否則稱其為非齊次的。

一階齊次線性微分方程：

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)$

的解函數構成一個一維實線性空間：

$S=\left\{x:\;t\mapsto ce^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u};\;\;c\in \mathbb {R} \right\}.$

一階非齊次線性微分方程

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)+b(t)$

的解函數構成一個一維實仿射空間：

${\begin{aligned}S'&=\left\{x:\;t\mapsto \left(c+\int ^{t}b(u)e^{-\int ^{u}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u\right)e^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u};\;\;c\in \mathbb {R} \right\}\\&=S+x^{*},\end{aligned}}$

其中

$x^{*}:\;t\mapsto e^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u}\int ^{t}b(u)e^{-\int ^{u}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u=\int ^{t}b(u)e^{\int _{u}^{t}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u$

是原微分方程的一個特解。

變量分離方程

如果一個一階常微分方程能寫成如下形式：

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)b(x),$

則稱其為變量分離方程。「變量分離」意為方程右端的部分可以分離成兩個不同部分的乘積，其中一個只與自變量t相關，另一個則只與未知函數x相關。

變量分離函數可以變形為：

${\frac {\mathrm {d} x}{b(x)}}=a(t)\mathrm {d} t$

的微分形式。將兩端同時積分，可以得到：

$\int ^{x}{\frac {1}{b(u)}}\mathrm {d} u=\int ^{t}a(s)\mathrm {d} s+c$

這便是方程的通解。由於上述關係為隱函數關係，而不是$x=x(t)$的形式，稱為隱式解。

不少一階常微分方程可以通過變量變換轉化為變量分離方程，從而求解。

恰當微分方程

將一個普通的一階常微分方程轉寫為微分的形式：

$\mathrm {d} x=f(x,t)\mathrm {d} t$

將t和x視為變量平等看待，可以將其看作是對稱的一階微分方程：

$P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=0$

如果上述方程中的左側恰好是某個二元函數的全微分：

$P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=\mathrm {d} U(x,t)={\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)\mathrm {d} x+{\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)\mathrm {d} t,$

那麼隱函數：

$U(x,t)=c$

就是原微分方程的解函數，其中的c可以是任意常數。具有這樣性質的微分方程被稱作恰當微分方程。要使得一個一階常微分方程是恰當微分方程，其中的函數P和Q必須一階連續可微，並且滿足以下的條件：

${\frac {\partial }{\partial t}}P(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}Q(x,t).$

而當以上條件滿足時，也可以具體求出解函數的形式：

$U(x,t)=\int ^{x}P(u,t)\mathrm {d} u+\int \left[Q(x,s)-\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\int ^{x}P(u,t)\mathrm {d} u\right|_{t=s}\right]\mathrm {d} s$

積分因子

如果方程

$P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=0$

中的函數P和Q不滿足上述的關係式，則為了將其轉化為恰當微分方程，會探討能否通過添加適當的函數μ，使得：

$\mu (x,t)P(x,t)\mathrm {d} x+\mu (x,t)Q(x,t)\mathrm {d} t=\mathrm {d} U(x,t)$

這樣的函數μ稱為方程的積分因子。可以證明，只要原方程有解函數存在，則積分因子也必然存在，而且不一定是唯一的。

解的存在性

主條目：柯西-利普希茨定理

很多情況下，需要討論帶有初值問題的一階常微分方程，即：

${\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t),\;\;x(t_{0})=x_{0}.$

是否有解。

設E為一個完備的有限維賦范向量空間，U為E中的一個開集，I是$\mathbb {R}$中的一個區間。函數f是從U×I映射到E中的連續函數。柯西-利普希茨定理說明了，若函數f在U中滿足利普希茨條件，也就是說，

$\exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|$

那麼對於給定的初始條件：$x(t_{0})=x_{0}$，$t_{0}\in I$、$x_{0}\in U$，微分方程存在一個解$(J,x(t))$，其中$J\subset I$是一個包含$t_{0}$的區間，$x(t)$是一個從 $J$映射到$U$的連續函數，滿足初始條件和原微分方程。同時，滿足初值條件的最大解唯一存在。

參考來源

• 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松. 常微分方程. 高等教育出版社，第三版. 2006. ISBN 9787040193664.