f = x2 + xy + y2的圖像。我們希望求出函數在點(1, 1)的對x的偏導數;對應的切線與xOz平面平行。
假設ƒ是一個多元函數。例如:
-
因為曲面上的每一點都有無窮多條切線,描述這種函數的導數相當困難。偏導數就是選擇其中一條切線,並求出它的斜率。通常,最感興趣的是垂直於y軸(平行於xOz平面)的切線,以及垂直於x軸(平行於yOz平面)的切線。
一種求出這些切線的好辦法是把其他變量視為常數。例如,欲求出以上的函數在點(1, 1)的與xOz平面平行的切線。右圖中顯示了函數的圖像以及這個平面。左圖中顯示了函數在平面y = 1上是什麼樣的。我們把變量y視為常數,通過對方程求導,我們可以發現f在點(x, y)的導數,記為:
-
於是在點(1, 1)的xOz平面平行的切線的斜率是3。
-
在點(1, 1),或稱「f在(1, 1)的關於x的偏導數是3」。
函數f可以解釋為y為自變量而x為常數的函數:
- 。
也就是說,每一個x的值定義了一個函數,記為fx,它是一個一元函數。也就是說:
- 。
一旦選擇了一個x的值,例如a,那麼f(a,y)便定義了一個函數fa,把y映射到a2 + ay + y2:
- 。
在這個表達式中,a是常數,而不是變量,因此fa是只有一個變量的函數,這個變量是y。這樣,便可以使用一元函數的導數的定義:
-
以上的步驟適用於任何a的選擇。把這些導數合併起來,便得到了一個函數,它描述了f在y方向上的變化:
-
這就是f關於y的偏導數,在這裏,∂是一個彎曲的d,稱為偏導數符號。為了把它與字母d區分,∂有時讀作「der」、「del」、「dah」或「偏」,而不是「dee」。
一般地,函數f(x1,...,xn)在點(a1,...,an)關於xi的偏導數定義為:
-
在以上的差商中,除了xi以外的所有變量都是固定的。這個固定值的選擇決定了一個一元函數 ,根據定義,
-
這個表達式說明了偏導數的計算可以化為一元導數的計算。
多變量函數的一個重要的例子,是歐幾里德空間Rn(例如R2或R3)上的純量值函數f(x1,...xn)。在這種情況下,f關於每一個變量xj具有偏導數∂f/∂xj。在點a,這些偏導數定義了一個向量:
-
這個向量稱為f在點a的梯度。如果f在定義域中的每一個點都是可微的,那麼梯度便是一個向量值函數∇f,它把點a映射到向量∇f(a)。這樣,梯度便決定了一個向量場。
一個常見的符號濫用是在歐幾里得空間R3中用單位向量 來定義Nabla算子 (∇) 如下:
-
或者,更一般地,對於n維歐幾里得空間Rn 的坐標(x1, x2, x3,...,xn)和單位向量( ):
-
考慮一個圓錐的體積V;它與高度h和半徑r有以下的關係:
- 。
V關於r的偏導數為:
- ,它描述了高度固定而半徑變化時,圓錐的體積的變化率。
V關於h的偏導數為:
- ,它描述了半徑固定而高度變化時,圓錐的體積的變化率。
現在考慮V關於r和h的全導數。它們分別是:
-
以及
-
現在假設,由於某些原因,高度和半徑的比k需要是固定的:
-
這便給出了關於r的全導數:
-
可以化簡為:
-
類似地,關於h的全導數是:
-
含有未知函數的偏導數的方程,稱為偏導數方程,它在物理學、工程學,以及其它應用科學中經常會見到。
與關於r和h二者相關的全導數是由雅可比矩陣給出的,它的形式為梯度向量 。
在以下的例子中,設f為x、y和z的函數。
f的一階偏導數為:
-
二階偏導數為:
-
二階混合偏導數為:
-
高階偏導數為:
-
當處理多變量函數時,有些變量可能互相有關,這樣就需要明確指定哪些變量是固定的。在諸如統計力學的領域中,f關於x的偏導數,把y和z視為常數,通常記為:
-
像導數一樣,偏導數也是定義為一個極限。設U為Rn的一個開子集,f : U → R是一個函數。我們定義f在點a = (a1, ..., an) ∈ U關於第i個變量xi的偏導數為:
-
即使在某個給定的點a,所有的偏導數∂f/∂xi(a)都存在,函數仍然不一定在該點連續。然而,如果所有的偏導數在a的一個鄰域內存在並連續,那麼f在該鄰域內完全可微分,且全導數是連續的。在這種情況下,我們稱f是一個C1函數。
偏導數 可以視為定義在U內的另外一個函數,並可以再次求偏導數。如果所有的混合二階偏導數在某個點(或集合)連續,我們便稱f為在該點(或集合)的一個C2函數;在這種情況下,根據克萊羅定理,偏導數可以互相交換:
- 。