全微分方程

全微分方程是常微分方程的一種，它在物理學和工程學中廣泛使用。

定義

給定R²的一個單連通的開子集D和兩個在D內連續的函數I和J，那麼以下形式的一階常微分方程

I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!

稱為全微分方程，當且僅當存在一個連續可微的函數F，稱為勢函數，使得

{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=I

以及

{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=J.

「全微分方程」的命名指的是函數的全導數。對於函數 $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ ，全導數為：

{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.

函數

F(x,y):={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})

是以下全微分方程的勢函數。

xx'+yy'=0.\,

在物理學的應用中，I和J通常不僅是連續的，也是連續可微的。施瓦茨定理（也稱為克萊羅定理）提供了勢函數存在的一個必要條件。對於定義在單連通集合上的微分方程，這個條件也是充分的，我們便得出以下的定理：

給定以下形式的微分方程：

I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,\,\!

其中I和J在R²的單連通開子集D上是連續可微的，那麼勢函數F存在，當且僅當下式成立：

{\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y).

給定一個定義在R²的單連通開子集D上的全微分方程，其勢函數為F，那麼D內的可微函數f是微分方程的解，當且僅當存在實數c，使得

F(x,f(x))=c.\,

y(x_{0})=y_{0}\,

我們可以用以下公式來尋找一個勢函數：

F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})dt+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)dt.

解方程

F(x,y)=c\,

其中c是實數，我們便可以構造出所有的解。

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