凹多邊形

凹多邊形是幾何學的名詞，為多邊形分類中的一類。其特徵為至少有一個內角介於 $\ 180^{\circ }$ 與 $\ 360^{\circ }$ 之間（這種角又稱作優角）^[1]。注意上述的內角角度不包含 $\ 180^{\circ }$ 與 $\ 360^{\circ }$ ，因為會屬於另外一種多邊形——退化多邊形。

前置知識

簡單多邊形是其任何邊都不會與自身相交的多邊形，而簡單多邊形可以根據凹凸性再分成凸多邊形（英語：convex polygon）與凹多邊形（英語：concave polygon）兩類。

不同的理解角度

初等幾何學與幾何學對於凹多邊形的定義有所差異。初等幾何學只討論在簡單多邊形當中的凹多邊形，如前一小節所述。

而在幾何學的正式定義中，凹多邊形是非凸的 （英語：non-convex）多邊形^[2]。換言之，因為沒有簡單多邊形的限制，在後者的定義中，星形多邊形也是一種凹多邊形。^[3]

另外凹多邊形亦有文獻稱為凹角的多邊形 （英語：reentrant polygon）^[4]。

簡單多邊形的內角和

當我們要計算一個 $\ n\$ 多邊形的內角和，無論它是凸多邊形還是凹多邊形，其內角和皆為 $\ 180^{\circ }\times (n-2)$ 。這是因為凹多邊形可以用對角線適當分割成數個凸多邊形，可行的演算法由 Chazelle 和 Dobkin 在 1985 年提出，此演算法可以將任意凹多邊形分解成最少數量的凸多邊形^[5]。

參見

參考文獻

^ Definition and properties of concave polygons with interactive animation.. [2018-12-02]. （原始內容存檔於2017-07-26）.
^ Leff, Lawrence, Let's Review: Geometry, Hauppauge, NY: Barron's Educational Series: 66, 2008, ISBN 978-0-7641-4069-3
^ Terr. ConcavePolygon. mathworld. [2023-03-09]. （原始內容存檔於2023-01-22）.
^ Mason, J.I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette (The Mathematical Association), 1946, 30 (291): 237–238, JSTOR 3611229, doi:10.2307/3611229 .
^ Chazelle, Bernard; Dobkin, David P., Optimal convex decompositions, Toussaint, G. T. (編), Computational Geometry (PDF), Elsevier: 63–133, 1985 [2018-12-02], （原始內容 (PDF)存檔於2019-01-26） .

外部連結

Terr, David; Weisstein, Eric W. Concave Polygon. MathWorld.

[MOR-1] Definition and properties of concave polygons with interactive animation.. [2018-12-02]. （原始內容存檔於2017-07-26）.

[2] Leff, Lawrence, Let's Review: Geometry, Hauppauge, NY: Barron's Educational Series: 66, 2008, ISBN 978-0-7641-4069-3

[3] Terr. ConcavePolygon. mathworld. [2023-03-09]. （原始內容存檔於2023-01-22）.

[4] Mason, J.I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette (The Mathematical Association), 1946, 30 (291): 237–238, JSTOR 3611229, doi:10.2307/3611229 .

[5] Chazelle, Bernard; Dobkin, David P., Optimal convex decompositions, Toussaint, G. T. (編), Computational Geometry (PDF), Elsevier: 63–133, 1985 [2018-12-02], （原始內容 (PDF)存檔於2019-01-26） .

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