劉益 (數學家)
關於與「劉益 (數學家)」標題相近或相同的條目頁，請見「劉益」。劉益（？—？），河北中山府人，又稱為「中山劉先生」，北宋數學家。著有《議古根源》一書二百問；南宋數學家楊輝在《楊輝算法》高度評價劉益在數學上的貢獻：「劉益以勾股之術,治演段鎖方,撰《議古根源》二百問。帶益隅開方實冠前古」[1] 。
楊輝在《楊輝算法》一書中多次引用《議古根源》。直到明代程大位的《算法統宗》還提到《議古根源》這部算書；但從此以後失傳。所幸《楊輝算法》多處引用《議古根源》，從這些片斷，可知劉益對數學的貢獻有三個方面：截積術、演段術和帶從開方正負損益法[2]。
學術貢獻
編輯截積術
編輯
從平面幾何圖形截取一段已知面積，求截取面積有關的線段長度。 「圓田一段直徑十三步，今從邊截積三十二步；問：所截弦矢各幾步？答數弦十二步矢四步」
劉益得到下列方程
實
- 方法
上廉
下廉
負隅
即四次方程：
演段術
編輯
劉益《議古根源》一書今已失傳，但在南宋數學家楊輝的著作中還保留《議古根源》演段術的片段[3]。 楊輝《田畝比類乘除捷法》卷下：中山劉先生序謂算之術入則諸門出則直田；《議古根源》故立演段百問，蓋欲演算之片斷也，知片斷則能窮根源。
第六問：直田積八百六十四步，只雲長闊共六十步，問長多闊幾何？
答曰十二步。
演段曰：和自乘有四段直田積一段差方積，所以用四積減和方余得差方一段，卻取方面。
- 長闊差的平方 =
- 所以 長闊差 = 12
帶從開方正負損益法
編輯劉益將賈憲的改進成為解含任意係數的高次方程的方法 例：解下列四次方程
以4為商(矢)
商
- 實
- 方法
- 上廉
- 下廉
- 負隅
程序： 1)上商乘負隅併入下廉得三十二
- 商
- 實
- 方法
- 上廉
下廉
- 負隅
2) 以商四乘下廉三十二的一百二十八入上廉共二百五十六
- 商
- 實
- 方法
- 上廉
- 下廉
- 負隅
3) 又已上商乘上廉得一千二十四為方法
- 商
- 實
- 方法
- 上廉
- 下廉
- 負隅
4) 以上商四乘一千二十四得四千九十六與實相消為零
- 商
- 實
- 方法
- 上廉
- 下廉
- 負隅
得矢=4