否定後件

在經典邏輯中，否定後件（拉丁語：modus tollens）有如下論證形式：

如果P，則Q。

非Q。

所以，非P。

它也可也被認為是否定結論，是一種有效的認證形式。

否定後件有時會與歸謬法 (Proof by contradiction)（假設命題的否定成立，證明這會導致矛盾）或者反證法 (Proof by contrapositive)（證明如果P則Q，通過證明如果非Q則非P的方法實現）相混淆。

例子

歸謬法的例子如下：

• 假定$G$是一個有限循環群，且$G$是單群，則$G$的階為質數。
• 也就是說，
• 若$G$的階不是質數，則$G$不是有限循環群，或者$G$不是單群。
• 證明：
  • 假定原論述不成立，那麼就表示「$G$的階不是質數」是錯的
  • 也表示說「若$G$的階不是質數，則$G$不是有限循環群，或者$G$不是單群。」是錯的
  • 這就表示「有個集合$G$是有限循環群，且$G$是單群」，而且「$G$的階不是質數」
  • 現在假定$G$的階是$n$，生成元是$a$，$G$單位元則記做$e$，因此有$e=a^{n}$
  • 由於$G$是循環群，因此$G$且$a$是生成元，因此$G$的所有元素都可表示成$a^{k}$的形式，其中$0\leq k<n$；又$n$不是不是質數，因此存在兩個大於等於2的正整數$p$和$q$，使得$n=pq$
  • 由此可知，$a^{p}$是$G$的元素，且$(a^{p})^{q}=a^{pq}=a^{n}=e$
  • 所有形如$(a^{p})^{y}=a^{py}$的元素可構成$G$的一個真子群$H$，且$H\neq \{e\}$。
  • 由於$G$是循環群，因此$G$是一個交換群。
  • 由於$G$是交換群，因此$G$的所有子群都是正規子群。
  • $H$是$G$的一個真子群。
  • $H$是$G$的一個正規子群。
  • $G$有$\{e\}$和自身以外的正規子群，此與$G$是單群的假設矛盾。
  • 這表示先前的假設「『若$G$的階不是質數，則$G$不是有限循環群，或者$G$不是單群。』是錯的」這條是錯的。
  • 因此原論述「假定$G$是一個有限循環群，且$G$是單群，則$G$的階為質數。」是對的。

證明

步驟	命題	推論
1	$P\rightarrow Q$	已知
2	$\neg Q$	已知
3	$\neg P\lor Q$	實質條件 (1)
4	$\neg P$	選言三段論 (3,2)

參見

• 肯定前件
• 肯定後件（一種邏輯上無效的論證形式）
• 否定前件（一種邏輯上無效的論證形式）
• 推理規則