四維正五十七胞體

在四維空間幾何學中，正五十七胞體是四維空間的一種自身對偶的抽象正多胞形（英語：Abstract polytope），由57個十二面體半形組成。

性質

四維正五十七胞體共由57個胞、171個面、171條邊和57個頂點所組成。其57個胞都是十二面體半形，每個面都是五邊形，每條棱都是5個十二面體半形的公共棱。^[1]其在施萊夫利符號中可以表示為{5,3,5}或{{5,3}₅,{3,5}₅}^[2]。

珀克爾圖（英語：Perkel graph）中的頂點和邊有着獨特的正距離圖與交點數組 {6,5,2;1,1,3}，由曼利·珀克爾(1979)發現。

四維正十一胞體
正一百二十胞體
五階十二面體堆砌（英語：Order-5 dodecahedral honeycomb） - 一個施萊夫利符號與四維正五十七胞體表達方式相同的雙曲正堆砌，其在施萊夫利符號中皆計為{5,3,5}，表示每個頂點都是三個「每個頂點都是3個正五邊形之公共頂點的圖形」的公共頂點，前者的「每個頂點皆是5個正三角形之公共頂點的圖形」是正十二面體、後者是十二面體半形。

^ Séquin, Carlo H.; Hamlin, James F., The Regular 4-dimensional 57-cell (PDF), ACM SIGGRAPH 2007 Sketches, SIGGRAPH '07, New York, NY, USA: ACM, 2007 [2017-07-29], doi:10.1145/1278780.1278784, （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04）
^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 92, Cambridge: Cambridge University Press: 185–186, 502, 2002 [2017-07-29], ISBN 0-521-81496-0, MR 1965665, doi:10.1017/CBO9780511546686, （原始內容存檔於2016-04-01）

Coxeter, H. S. M., Ten toroids and fifty-seven hemidodecahedra, Geometriae Dedicata, 1982, 13 (1): 87–99, MR 0679218, doi:10.1007/BF00149428 .
Perkel, Manley, Bounding the valency of polygonal graphs with odd girth, Canadian Journal of Mathematics, 1979, 31 (6): 1307–1321, MR 0553163, doi:10.4153/CJM-1979-108-0 .