在數學上,每個閉曲面在幾何拓撲的意義下,可以由一個偶數條邊的有向多邊形,把它的邊成對地粘合構造出來,這樣的多邊形稱之為基本多邊形(fundamental polygon)。
由一對向量定義的基本平行四邊形,生成環面。
這個構造可以表示成一個長為2n的字符串,一共n個不同的符號,每個符號出現兩次帶有指數 +1或 -1。指數 -1的符號對應於該邊的定向與基本多邊形的定向相反。
對標準對稱形狀,多邊形的邊可以理解為一個群的生成元。然後這個多邊形,寫成群元素形式,成為由這些邊生成的自由群上一個約束,給出有一個約束的群呈示。
因此,例如給定歐幾里得平面 ,設群元素 在這個平面上有作用 而 。則 生成格 ,而環面由商空間給出(一個齊性空間) 。更一般地,兩個生成元 可用來生成一個基本平行四邊形的平行四邊形鑲嵌。
對環面,在兩個字母的自由群上的約束由 給出。這個約束平凡地包含在如上給出的平面上的作用中。另外,平面可用六邊形鋪滿,六邊形的中心形成一個六邊形格。將六邊形的相對等同,又得到了環面。這一回約束是 ,刻劃了六邊形格生成元在平面上的作用。
在實際中,大部分有趣的情形是具有負曲率的曲面,由群 中一個離散格作用在上半平面實現。這樣的格稱為富克斯群(Fuchsian group)。
虧格n可定向閉曲面有如下標準基本多邊形:
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(不可定向)虧格n的不可定向閉曲面有如下標準基本多邊形:
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或者,不可定向曲面能由兩種形式給出,虧格n 克萊因瓶與虧格n 實射影平面。虧格2n克萊因瓶由一個4n邊形給出
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(注意最後的 沒有上標 -1;與可定向情形比較,這個翻轉是不可定向性的緣故)。虧格2n+1射影平面由一個4n+2邊形給出
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最後兩類情形窮盡了所有可能的不可定向曲面,這是昂利·龐加萊證明的。
一個(雙曲)緊黎曼曲面的基本多邊形有許多重要的性質,將曲面與它的富克斯模型(Fuchsian model)聯繫起來。即一個雙曲緊黎曼曲面可以上半平面做為萬有覆疊,從而可以表示為一個商流形H/Γ,這裏 Γ是一個非阿貝爾群同構於曲面的甲板變換群(deck transformation group)。商空間的陪集有標準多邊形做為代表元素。在下面,注意所有黎曼曲面都是可定向的。
給定上半平面H中一點 ,以及PSL(2,R)一個離散子群Γ 自由不連續作用在上半平面,則我們可定義度量基本多邊形(metric fundamental polygon)為點集
-
這裏d是上半平面的雙曲度量。度量基本多邊形有時也稱為狄里克雷區域(Dirichlet region)或沃羅諾伊多邊形(Voronoi polygon)。
- 這個基本多邊形是一個基本區(fundamental domain)。
- 這個基本多邊形是凸集,連接這個多邊形的任何兩點的測地線完全包含在多邊形內部。
- F的直徑小於或等於H/Γ的直徑。特別地,F的閉包緊。
- 如果Γ在H中沒有不動點且H/Γ緊,則F的邊數有限。
- 多邊形的每條邊是一個測地線。
- 對多邊形的每條邊s,恰有另外一條邊s' 使得gs=s' 對某個g屬於Γ。從而這個多邊形有偶數條邊。
- 將邊兩兩連接的群元素集合g是Γ的生成元,沒有更小的集合可生成Γ。
- F的閉包在Γ的作用下鋪滿上半平面。即 這裏 是F的閉包。
給定任何度量基本多邊形F,用有限步可以構造另一個基本多邊形,標準基本多邊形(standard fundamental polygon),它具有額外一組值得注意的性質:
- 標準多邊形的頂點都是等價的。「頂點」是說兩條邊相交的點。「等價」意味着每個頂點可以由Γ中某個g變到任何其它一個頂點。
- 邊數可被4整除。
- Γ中一個給定元素g至多將多邊形的一條邊變到另一邊。從而這些邊可以成對標記出來。由於Γ的作用保持定向,如果一條邊為 ,則這一對中另一個可以標記為相反的方向 。
- 可以安排標準多邊形的邊,使得相鄰邊取形式 。這就是說邊對可安排成以這樣的方式相間出現。
- 標準多邊形是凸集。
- 邊可以安排成測地線。
上面的構造足夠保證多邊形的每條邊在流形H/Γ中是一個閉(非平凡)環路。就其本身而言,每條邊可以為基本群 中一個元素。特別地,基本群 有2n個生成元素 ,由一個約束定義,
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所得流形H/Γ的虧格是n。
度量基本多邊形與標準多邊形通常有不同的邊數。比如,環面的標準基本多邊形是一個基本平行四邊形(fundamental parallelogram)。相比而言,度量基本多邊形有六條邊,是一個六邊形。只需注意到六邊形的邊垂直平分平行四邊形的邊就可以看出來。這就是,取格中一點,然後考慮連接這點與鄰點的直線之集合。每個這樣的線被另一條垂直線平分,被這樣的第二個線集合圍住的最小的空間是一個六邊形。
事實後,上一個構造一般都可行:取一點x,然後對Γ中g,考慮x與gx之間的測地線。平分這些測地線是另一個曲線集合,這些點的軌跡與x和gx距離相等。由第二個線集合圍住的最小區域是度量基本多邊形。
標準基本多邊形的面積是 ,這裏n是黎曼曲面的虧格(等價於4n是多邊形的邊數)。由於標準多邊形是H/Γ的一個代表,黎曼曲面的整個面積等於標準多邊形的面積。這個面積公式由高斯-博內定理得出,在某種意義下黎曼-赫爾維茨公式(Riemann-Hurwitz formula)是其推廣。
對標準多邊形可以給出具體表達式。一個更有用的形式是使用與這個標準多邊形關聯的群 。對一個虧格n定向曲面,群可由2n格生成元 給出。這些生成元由下列分式線性變換作用在上半平面給出。
對 :
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參數由
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和
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以及
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給出。可以驗證這些生成元服從約束
-
這給出整個群呈示。
- Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups (1983), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90788-2.
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X.