子集和問題

子集和問題（英語：Subset sum problem），又稱子集合加總問題，是計算複雜度理論和密碼學中一個很重要的問題。問題可以描述為：給一個整數集合，問是否存在某個非空子集，使得子集內中的數字和為某個特定數值。例：給定集合{−7, −3, −2, 5, 8}，是否存在子集和為0的集合?答案是YES，因為子集{−3, −2, 5}的數字和是0。這個問題是NP完全問題，且或許是最容易描述的NP完全問題。

一個等價的問題是：給一個整數集合和另一個整數s，問是否存在某個非空子集，使得子集中的數字和為s。子集合加總問題可以想成是背包問題的一個特例。

動態規劃解法

用動態規劃的方法，能夠以偽多項式時間解決子集合加總問題。我們假定輸入序列為：

x₁, ..., x_n

我們需要判斷是否存在某個非空子集，使得子集中的數字和為0。我們序列中負數的和為N，正數的和為P。定義函數Q(i, s)，它的涵義為:

是否存在x₁, ..., x_i的非空子集，使得子集中的數字和為s

子集合加總問題的答案即為Q(n, 0)。

顯然，如果s < N或者s > P，則Q(i,s) = false，因此無需記錄這些值。我們把Q(i, s)的值保存在數組中，其中1 ≤ i ≤ n且N ≤ s ≤ P。

接下來使用循環來填充數組。首先，對於N ≤ s ≤ P，設定

Q(1, s) := (x₁ = s)

隨後，對於i = 2, …, n和N ≤ s ≤ P，設定

Q(i, s) := Q(i - 1, s) 或 (x_i = s) 或 Q(i - 1, s - x_i)

算法運行的總時間為O(n(P - N))。

對算法加以改動，即可返回和為0的子集。

在計算複雜度理論中，這種解法需要的時間並不算多項式時間，這是因為P - N同輸入大小並不成線性關係。原因在於輸入大小僅僅取決於表達輸入所需要的位元數。算法的時間複雜度同N與P的值成線性關係，而它們的值與表達它們所需的位元數成冪關係。