射影平面的基本多邊形

莫比烏斯帶只有一條邊,將相對開邊反向黏合起來便成為閉合的射影平面。

對照克萊因瓶,是莫比烏斯帶相對開邊同向黏合。

數學中,射影平面(英語:Real projective plane)是R3中所有過原點直線組成的空間,通常記作,無歧義時也記為。這是一個不可定向緊緻無邊界二維流形(即一個曲面),它在幾何中有基本的應用,但不能無自交地嵌入我們通常的三維歐幾里得空間。它的虧格是1,故歐拉示性數也為1。

實射影平面有時描述為基於莫比烏斯帶的構造:如果能把莫比烏斯帶的(一條)邊以恰當的方向黏合,將得到射影平面。等價地,沿着莫比烏斯帶的邊界黏合一個圓盤給出射影平面。

由於莫比烏斯帶可構造為將正方形的一組對邊反向黏合,從而實射影平面可以表示為單位正方形([0,1] × [0,1])將它的邊界通過如下等價關係等同:

(0, y) ~ (1, 1 − y)  對0 ≤ y ≤ 1 ,

以及

(x, 0) ~ (1 − x, 1)  對0 ≤ x ≤ 1,

即如右圖所示。因為正方形同構於圓盤,故這也等價於將圓盤邊界的對徑點黏合。

構造

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考慮一個球面,設球面的大圓(假設地球是一個球形,那麼赤道就是大圓)是「直線」,對徑點對是「點」(一對對徑點是通過大圓圓心的直線與大圓相交的兩個點)。容易驗證它們滿足射影平面所需的公理:

  • 任何兩個不同的大圓交於一對對徑點;
  • 任何兩個不同的對徑點對位於惟一一個大圓上。

這就是實射影平面

如果我們將球面上每個點與其對徑點等同,則我們得到了實射影平面的一個表示,其中射影空間的「點」確實是點。

射影平面是球面在等價關係~下的商空間,這個等價關係~就是對徑關係,即 x ~ y若且唯若y = −x。這個球面的商空間同構於R3中所有通過原點的直線的集合。

所得的曲面是一個2維不可定向流形,有一點難以想像,因為它不能無自交地嵌入三維歐幾里得空間中。

從球面到實射影平面的商映射事實上是一個(2對1)覆蓋映射。從而實射影平面的基本群是二階循環群,即整數模2群。可以取上圖中的環路AB作為生成元

實射影平面浸入三維空間

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羅馬曲面動畫示意圖

射影平面不能嵌入(這要求沒有自交)三維空間,不過可以浸入(局部鄰域沒有自交點)。伯伊曲面英語Boy's surface是浸入的一個實例。

羅馬曲面英語Roman surface是從射影平面到三維空間一個更加退化的映射,包含一個交叉帽英語cross-cap。同樣對具有一個交叉套的球面也成立。

射影平面不能嵌入三維歐幾里得空間,可作如下證明:假設可以嵌入,由廣義若爾當曲線定理它將在三維歐幾里得空間中圍出一個緊區域。向外的單位法向量場將給出邊界流形的一個定向,但邊界流形就是射影平面,它是不可定向的。這是一個矛盾,從而我們所假設的嵌入必定是錯誤的。

實射影平面的一個多面體半形表示是四面半六面體

從相反的方向來看,立方體半形十二面體半形以及二十面體半形抽象正則多面體英語Abstract polytope,都可以構造成射影平面中的正則圖形。

齊次坐標

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平面中的直線集合可以用齊次坐標表示。直線ax+by+c=0可以表示為[a:b:c]。這些坐標有等價關係,對所有非零d,[a:b:c] = [da:db:dc]。從而相同直線的不同表示dax+dby+dc=0有同樣的坐標。坐標集合[a:b:1]給出了通常實平面,而坐標集合[a:b:0]定義了一個無窮遠直線

嵌入4維空間

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射影平面可嵌入一個4維歐幾里得空間。考慮 是2維球面 由對徑關係 得到的。考慮由 給出的函數 。將這個映射限制在區域 上,因為它是一個二次多項式,故可分解,給出一個映射 ,並且這個映射是嵌入。注意到這個嵌入有一個到 的投影,即羅馬曲面

高階虧格

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基本多邊形一文提供了高階虧格實射影平面的一個描述。

又見

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參考文獻

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