巴尼斯G函數是超級階乘函數在複數上的擴展。它與Γ函數、K函數以及格萊舍常數(Glaisher constant)有關。以數學家歐尼斯特·巴尼斯(Ernest William Barnes)的名字命名。[1]
巴尼斯G函數可以通用魏爾施特拉斯分解定理的形式定義為:
![{\displaystyle G(z+1)=(2\pi )^{z/2}e^{-[z(z+1)+\gamma z^{2}]/2}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+z^{2}/(2n)}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a012aa3e1e4038a08f4e3aa4efdb64aa1e206047)
其中,γ表示歐拉-馬歇羅尼常數。
巴尼斯G函數滿足差分方程
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特殊地,G(1)=1. 從此方程可推出G取整數自變量時有:
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因此,
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其中, 表示Γ函數, 表示K函數。
另外,在滿足條件 時,差分方程唯一確定一個G函數。[2].
由G函數的差分方程和Γ函數的函數方程可以得到(由Hermann Kinkelin提出):
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- ^ E.W.Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264-314.
- ^ M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL , Astérisque 61, 235-249 (1979).