巴尼斯G函数是超级阶乘函数在复数上的扩展。它与Γ函数、K函数以及格莱舍常数(Glaisher constant)有关。以数学家欧尼斯特·巴尼斯(Ernest William Barnes)的名字命名。[1]
巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为:
![{\displaystyle G(z+1)=(2\pi )^{z/2}e^{-[z(z+1)+\gamma z^{2}]/2}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+z^{2}/(2n)}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a012aa3e1e4038a08f4e3aa4efdb64aa1e206047)
其中,γ表示欧拉-马歇罗尼常数。
巴尼斯G函数满足差分方程
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特殊地,G(1)=1. 从此方程可推出G取整数自变量时有:
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因此,
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其中, 表示Γ函数, 表示K函数。
另外,在满足条件 时,差分方程唯一确定一个G函数。[2].
由G函数的差分方程和Γ函数的函数方程可以得到(由Hermann Kinkelin提出):
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- ^ E.W.Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264-314.
- ^ M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL , Astérisque 61, 235-249 (1979).