開世定理

在幾何學中，開世定理是歐幾里得幾何學中的一個定理，可以看做是托勒密定理的一個推廣結果。開世定理得名於愛爾蘭數學家約翰·開世。

敘述

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

開世定理的背景是圓的內切圓。設有半徑為$\,R$ 的一個圓$\,O$，圓內又有四個圓$\,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ 內切於圓$\,O$（如右圖）。如果將圓$\,O_{i},O_{j}$ 的外公切線的長度設為$\,t_{ij}$，那麼開世定理聲稱，有下列等式成立。

$\,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}$

可以注意到，如果四個內切的圓都退化成點的話，就會變成圓$\,O$ 上的四個點，而開世定理中的等式也會化為托勒密定理。

證明

設大圓的圓心是點$\,O$；四個圓的圓心分別是點$\,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$，半徑分別是$\,R_{1},R_{2},R_{3},R_{4}$。每個圓與大圓$\,O$ 的切點分別是$\,K_{1},K_{2},K_{3},K_{4}$。

首先，根據勾股定理可以推出：對於任意的i 和j，都有

$\,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(1)$

接下來的思路是將這個公式右邊的各個長度用$\,K_{i},K_{j}$ 來表示。

考慮三角形$\,O_{i}OO_{j}$，根據三角形的餘弦定理：

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(2)$

由於每個圓$\,O_{i}$ 都和大圓相切，所以：

${\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}$

設點$\,C$ 為大圓$\,O$ 上的任意一點，根據三角形的正弦定理，在三角形$\,K_{i}CK_{j}$之中，有：

${\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}$

所以，餘弦式

$\cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}$

將以上${\overline {OO_{i}}}$ 與$\cos \angle K_{i}OK_{j}$ 代入式子$(2)$中，就可以得到：

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)$

$=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

$=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

$=(R_{i}-R_{j})^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

再代入式子$(1)$中，就得到$t_{ij}$的表達式：

$t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}$

以上等式對所有的i 和j 都成立，因此只要注意到四邊形 $\,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}$ 是圓內接四邊形，那麼對其應用應用托勒密定理就可以得到開世定理：

$t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)$

$={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)=t_{13}t_{24}$

證明完畢。

推廣

可以用類似的方法證明，只要當圓$\,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ 與大圓$\,O$ 相切（不論是外切還是內切），就會有類似開世定理的等式成立。這是需要註明，對任意的i 和j：

如果圓$\,O_{i},O_{j}$ 是與大圓$\,O$ 以同樣的方式相切（都是外切或者都是內切）的話，則$\,t_{ij}$表示兩個圓的外公切線的長度；

如果圓$\,O_{i},O_{j}$ 是與大圓$\,O$ 以不同的方式相切（一個是外切而另一個是內切）的話，則$\,t_{ij}$表示兩個圓的內公切線的長度。

另一個特點是：這定理的逆定理也成立。也就是說，如果開世定理的等式成立，那麼這些圓必定以規定的方式與大圓相切。

應用

在歐幾里得幾何學中，開世定理可以用來證明多種不同的結論。比如說費爾巴哈定理的一個簡潔證明中就用到了它。

參考書籍

• （英文） Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. Dover. 2007. ISBN 978-0-486-46237-0. ，p.123-125 （1929年曾以《現代幾何學》（modern geometry）之名出版。）.
• （英文）O. Bottema, Reinie Erne. Topics in Elementary Geometry. Springer. 2008. ISBN 978-0-387-78130-3. 

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Casey's theorem. MathWorld. 
• Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem