开世定理

在几何学中，开世定理是欧几里得几何学中的一个定理，可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世。

叙述

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为$\,R$ 的一个圆$\,O$，圆内又有四个圆$\,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ 内切于圆$\,O$（如右图）。如果将圆$\,O_{i},O_{j}$ 的外公切线的长度设为$\,t_{ij}$，那么开世定理声称，有下列等式成立。

$\,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}$

可以注意到，如果四个内切的圆都退化成点的话，就会变成圆$\,O$ 上的四个点，而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。

证明

设大圆的圆心是点$\,O$；四个圆的圆心分别是点$\,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$，半径分别是$\,R_{1},R_{2},R_{3},R_{4}$。每个圆与大圆$\,O$ 的切点分别是$\,K_{1},K_{2},K_{3},K_{4}$。

首先，根据勾股定理可以推出：对于任意的i 和j，都有

$\,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(1)$

接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用$\,K_{i},K_{j}$ 来表示。

考虑三角形$\,O_{i}OO_{j}$，根据三角形的余弦定理：

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(2)$

由于每个圆$\,O_{i}$ 都和大圆相切，所以：

${\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}$

设点$\,C$ 为大圆$\,O$ 上的任意一点，根据三角形的正弦定理，在三角形$\,K_{i}CK_{j}$之中，有：

${\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}$

所以，余弦式

$\cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}$

将以上${\overline {OO_{i}}}$ 与$\cos \angle K_{i}OK_{j}$ 代入式子$(2)$中，就可以得到：

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)$

$=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

$=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

$=(R_{i}-R_{j})^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

再代入式子$(1)$中，就得到$t_{ij}$的表达式：

$t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}$

以上等式对所有的i 和j 都成立，因此只要注意到四边形 $\,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}$ 是圆内接四边形，那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理：

$t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)$

$={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)=t_{13}t_{24}$

证明完毕。

推广

可以用类似的方法证明，只要当圆$\,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ 与大圆$\,O$ 相切（不论是外切还是内切），就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明，对任意的i 和j：

如果圆$\,O_{i},O_{j}$ 是与大圆$\,O$ 以同样的方式相切（都是外切或者都是内切）的话，则$\,t_{ij}$表示两个圆的外公切线的长度；

如果圆$\,O_{i},O_{j}$ 是与大圆$\,O$ 以不同的方式相切（一个是外切而另一个是内切）的话，则$\,t_{ij}$表示两个圆的内公切线的长度。

另一个特点是：这定理的逆定理也成立。也就是说，如果开世定理的等式成立，那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。

应用

在欧几里得几何学中，开世定理可以用来证明多种不同的结论。比如说费尔巴哈定理的一个简洁证明中就用到了它。

参考书籍

• （英文） Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. Dover. 2007. ISBN 978-0-486-46237-0. ，p.123-125 （1929年曾以《现代几何学》（modern geometry）之名出版。）.
• （英文）O. Bottema, Reinie Erne. Topics in Elementary Geometry. Springer. 2008. ISBN 978-0-387-78130-3. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Casey's theorem. MathWorld. 
• Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem