弗羅貝尼烏斯流形

在微分幾何中，杜布羅溫提出的弗羅貝尼烏斯流形是切空間上具有某種兼容乘法結構的平坦黎曼流形。這一概念將弗羅貝尼烏斯代數推廣到切叢。

弗羅貝尼烏斯流形自然出現於辛拓撲，更具體地說是量子上同調之中。最廣義的定義是黎曼超流形範疇，我們這裏的討論僅限於光滑（實）流形。也可限制在複流形。

定義

令M為光滑流形。M上的仿射平面結構是指逐點擴張切叢TM、其切括號消失的向量空間的層 T^f。

局部例子：考慮M的表上的坐標向量場。若能將這樣的向量場粘合到表的覆蓋族中，則流形是仿射平面結構。

進一步給出M上的黎曼度量g。若對所有平面向量場X、Y，$g(X,\ Y)$都是局部為常數的，那麼就與平面結構相容。

若且唯若黎曼流形的曲率張量在任何地方都為0，才具有相容的仿射平面結構。

TM上的交換積*族等價於$s^{2}(T^{*}M)\otimes TM$的一個剖面A，通過

$X*Y=A(X,Y).\,$

此外還需要屬性

$g(X*Y,Z)=g(X,Y*Z).\,$

於是組合g^#∘A是對稱3張量。

這就意味着具有常數積的線性弗羅貝尼烏斯流形$(M,\ g,\ *)$是弗羅貝尼烏斯代數M。

給定$(g,\ T^{f},\ A)$，則局部勢Φ是局部光滑函數，使得對所有向量場X、Y、Z，有

$g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi ]]].$

弗羅貝尼烏斯流形$(M,\ g,\ *)$現在是平坦黎曼流形$(M,\ g)$，其對稱3張量A在任何地方都有局部勢，且是結合的。

基本性質

積*的結合性等價於局部勢Φ中的下列二次偏微分方程：

$\Phi _{,abe}g^{ef}\Phi _{,cdf}=\Phi _{,ade}g^{ef}\Phi _{,bcf}\,$

當中隱含了愛因斯坦求和約定，$\Phi _{,a}$表示Φ函數對坐標向量場的偏導數${\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$，已經假定後者是平坦的；$g^{ef}$是度量的係數之逆。

於是，方程稱作結合性方程，或威滕-迪傑格拉夫-韋爾蘭德-韋爾蘭德（Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde，WDVV）方程。

例子

除了弗羅貝尼烏斯代數外，量子上同調中也有些例子。比如，給定半正定辛流形$(M,\ \omega )$，則在諾維科夫環在C上的偶量子上同調${\rm {QH}}^{\rm {even}}(M,\ \omega )$存在0的開鄰域U，同時U中a的大量子積$*_{a}$是解析的。現在U連同相交形式$g=<-,\ ->$是（復）弗羅貝尼烏斯流形。

弗羅貝尼烏斯流形的第二大類例子來自奇異點理論。比如，孤立奇異點的最小變形空間具有弗羅貝尼烏斯流形結構，其也與齋藤恭司的原形式有關。

參考文獻

2. Yu.I. Manin, S.A. Merkulov: Semisimple Frobenius (super)manifolds and quantum cohomology of P^r （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Topol. Methods in Nonlinear Analysis 9 (1997), pp. 107–161