辛拓扑 和代数几何 中，量子上同调 环 是闭 辛流形 的普通上同调环 的推广。有“小环”和“大环”两种定义，一般来说后者更复杂，包含的信息也更多。系数环（一般是诺维科夫环 ）的选择也会对其结构产生重大影响。
普通上同调的上积 描述了子流形如何相交 ，而量子上同调的量子上积则描述了子空间如何以“模糊”“量子”的方式相交。更确切地说，若它们通过伪全纯曲线 相连接，就是相交的。计算曲线的格罗莫夫-威滕不变量 在量子上积的展开式中作为系数出现。
量子上同调表达了格罗莫夫-威滕不变量的结构或模式，因此对枚举几何 有重要意义，还与数学物理 和镜像对称 中的许多观点相关。特别是，它与辛弗洛尔同调 是环同构 的。
本文中X 是闭辛流形，具有辛形式ω。
令
H
∗
(
X
)
=
H
∗
(
X
,
Z
)
/
t
o
r
s
i
o
n
{\displaystyle H^{*}(X)=H^{*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }
为X 模挠（torsion）的上同调。系数为Λ的小量子上同调 定义为
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
=
H
∗
(
X
)
⊗
Z
Λ
.
{\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )=H^{*}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\Lambda .}
其元素是形式为
∑
i
a
i
⊗
λ
i
{\displaystyle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i}}
的有限和。小量子上同调是分次R 模：
deg
(
a
i
⊗
λ
i
)
=
deg
(
a
i
)
+
deg
(
λ
i
)
.
{\displaystyle \deg(a_{i}\otimes \lambda _{i})=\deg(a_{i})+\deg(\lambda _{i}).}
普通上同调
H
∗
(
X
)
{\displaystyle H^{*}(X)}
a
↦
a
⊗
1
{\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
{\displaystyle QH^{*}(X,\ \Lambda )}
H
∗
(
X
)
{\displaystyle H^{*}(X)}
对
H
∗
(
X
)
{\displaystyle H^{*}(X)}
a 、b ，以及
H
2
(
X
)
{\displaystyle H_{2}(X)}
A ，定义
(
a
∗
b
)
A
{\displaystyle (a*b)_{A}}
H
∗
(
X
)
{\displaystyle H^{*}(X)}
∫
X
(
a
∗
b
)
A
⌣
c
=
G
W
0
,
3
X
,
A
(
a
,
b
,
c
)
.
{\displaystyle \int _{X}(a*b)_{A}\smile c=GW_{0,3}^{X,A}(a,b,c).}
（右式是0亏格 3点格罗莫夫-威滕不变量。）接着，定义
a
∗
b
:=
∑
A
∈
H
2
(
X
)
(
a
∗
b
)
A
⊗
e
A
.
{\displaystyle a*b:=\sum _{A\in H_{2}(X)}(a*b)_{A}\otimes e^{A}.}
根据线性关系，可以推广为定义良好的Λ双射
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
⊗
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
→
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
{\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to QH^{*}(X,\Lambda )}
即小量子上积 （small quantum cup product）。
类
A
=
0
{\displaystyle A=0}
G
W
0
,
3
X
,
0
(
a
,
b
,
c
)
=
∫
X
a
⌣
b
⌣
c
;
{\displaystyle GW_{0,3}^{X,0}(a,b,c)=\int _{X}a\smile b\smile c;}
即
(
a
∗
b
)
0
=
a
⌣
b
.
{\displaystyle (a*b)_{0}=a\smile b.}
于是量子上积包含普通上积；也就是说，这定义将普通上积推广到了非零类A 。
一般来说，
(
a
∗
b
)
A
{\displaystyle (a*b)_{A}}
庞加莱对偶 对应着通过a 、b 的庞加莱对偶的类A 的仿全纯曲线空间。所以，普通上同调认为只有当a 、b 在一定的点上相遇才算做相交，而量子上同调则记录了a 和b 的非零相交，只要有仿全纯曲线相连接即可。诺维科夫环仅仅提供了足够大的记录系统，可以记录所有类A 的相交信息。
令X 为具有标准辛形式（对应富比尼–施图迪度量 ）和复结构的复射影平面 。令
ℓ
∈
H
2
(
X
)
{\displaystyle \ell \in H^{2}(X)}
L 的庞加莱对偶，则
H
∗
(
X
)
≅
Z
[
ℓ
]
/
ℓ
3
.
{\displaystyle H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.}
唯一非零的格罗莫夫-威滕不变量是类
A
=
0
{\displaystyle A=0}
A
=
L
{\displaystyle A=L}
∫
X
(
ℓ
i
∗
ℓ
j
)
0
⌣
ℓ
k
=
G
W
0
,
3
X
,
0
(
ℓ
i
,
ℓ
j
,
ℓ
k
)
=
δ
(
i
+
j
+
k
,
2
)
{\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{0}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,0}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,2)}
及
∫
X
(
ℓ
i
∗
ℓ
j
)
L
⌣
ℓ
k
=
G
W
0
,
3
X
,
L
(
ℓ
i
,
ℓ
j
,
ℓ
k
)
=
δ
(
i
+
j
+
k
,
5
)
,
{\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{L}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,L}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,5),}
其中δ是克罗内克δ函数 。于是，
ℓ
∗
ℓ
=
ℓ
2
e
0
+
0
e
L
=
ℓ
2
,
{\displaystyle \ell *\ell =\ell ^{2}e^{0}+0e^{L}=\ell ^{2},}
ℓ
∗
ℓ
2
=
0
e
0
+
1
e
L
=
e
L
.
{\displaystyle \ell *\ell ^{2}=0e^{0}+1e^{L}=e^{L}.}
这时，可以方便地将
e
L
{\displaystyle e^{L}}
q ，并使用更简单的系数环
Z
[
q
]
{\displaystyle \mathbf {Z} [q]}
q 之度为
6
=
2
c
1
(
L
)
{\displaystyle 6=2c_{1}(L)}
Q
H
∗
(
X
,
Z
[
q
]
)
≅
Z
[
ℓ
,
q
]
/
(
ℓ
3
=
q
)
.
{\displaystyle QH^{*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).}
对纯度（pure degree）的a 、b ，
deg
(
a
∗
b
)
=
deg
(
a
)
+
deg
(
b
)
{\displaystyle \deg(a*b)=\deg(a)+\deg(b)}
且
b
∗
a
=
(
−
1
)
deg
(
a
)
deg
(
b
)
a
∗
b
.
{\displaystyle b*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a*b.}
小量子上积满足分配律 ，是Λ双线性的。单位元
1
∈
H
0
(
X
)
{\displaystyle 1\in H^{0}(X)}
小量子上积还满足结合律 ，这是格罗莫夫-威滕不变量的胶合定律（gluing law）的结果。这相当于，格罗莫夫-威滕势（0亏格格罗莫夫-威滕不变量的母函数 ）满足特定的三阶微分方程 ，即WDVV方程。
相交对
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
⊗
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
→
R
{\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to R}
的定义为
⟨
∑
i
a
i
⊗
λ
i
,
∑
j
b
j
⊗
μ
j
⟩
=
∑
i
,
j
(
λ
i
)
0
(
μ
j
)
0
∫
X
a
i
⌣
b
j
.
{\displaystyle \left\langle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i},\sum _{j}b_{j}\otimes \mu _{j}\right\rangle =\sum _{i,j}(\lambda _{i})_{0}(\mu _{j})_{0}\int _{X}a_{i}\smile b_{j}.}
（下标0表示
A
=
0
{\displaystyle A=0}
⟨
a
∗
b
,
c
⟩
=
⟨
a
,
b
∗
c
⟩
.
{\displaystyle \langle a*b,c\rangle =\langle a,b*c\rangle .}
基环R 是C 时，可将向量空间
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
{\displaystyle QH^{*}(X,\ \Lambda )}
H 看做复流形。小量子上积限制为H 上良定义的交换积。在较温和的假设下，具有相交对
⟨
,
⟩
{\displaystyle \langle ,\ \rangle }
H 是弗罗贝尼乌斯代数 。
量子上积可视作是切丛TH 上的联络 ，称作杜布罗温联络 。则，量子上积的交换性和结合性对应这个联络上的零挠率 和零曲率 条件。
存在
0
∈
H
{\displaystyle 0\in H}
U ，使
⟨
,
⟩
{\displaystyle \langle ,\rangle }
U 以弗罗贝尼乌斯流形 的结构。
∀
a
∈
U
{\displaystyle \forall a\in U}
∗
a
:
H
⊗
H
→
H
,
{\displaystyle *_{a}:H\otimes H\to H,}
定义为
⟨
x
∗
a
y
,
z
⟩
:=
∑
n
∑
A
1
n
!
G
W
0
,
n
+
3
X
,
A
(
x
,
y
,
z
,
a
,
…
,
a
)
.
{\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle :=\sum _{n}\sum _{A}{\frac {1}{n!}}GW_{0,n+3}^{X,A}(x,y,z,a,\ldots ,a).}
H 上的积统称为大量子上同调 （big quantum cohomology）。所有0亏格格罗莫夫-威滕不变量都可从中恢复；但一般来说，更简单的小量子上同调并非如此。
小量子上同调只有3点格罗莫夫-威滕不变量的信息，大量子上同调则有所有n点（n ≧ 4）格罗莫夫-威滕不变量的信息。为获得某些流形的枚举几何 信息，需要用到大量子上同调。小量子上同调对应物理学中的3点相关函数，大量子上同调则对应所有n点相关函数。
McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology , American Mathematical Society colloquium publications. ISBN 0-8218-3485-1 .
Fulton, W; Pandharipande, R. Notes on stable maps and quantum cohomology. 1996. arXiv:alg-geom/9608011 Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry , pp. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7 
![{\displaystyle H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091a8dc6fcf93ae6f1fd913e94763f643f01b942)
![{\displaystyle \mathbf {Z} [q]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f6187bfb51714f310b8a0541ac0ef1d641871e)
![{\displaystyle QH^{*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7d62b3c1aa1e766f113735fe4b8aef7ba1e056)
.