扭率張量

本文介紹聯絡的扭率，關於扭率的其他用法，參見扭率。

在微分幾何中，扭率或稱扭率此一概念是刻畫沿着曲線移動的標架的扭曲或螺旋的方法。例如曲線的扭率，出現在弗萊納公式中，量化了一條曲線變化時關於它的切向量的扭曲程度（更確切的說弗萊納標架關於切向量的旋轉）。在曲面的幾何中，「測地扭率」描述了曲面關於曲面上一條曲線的扭曲。相伴的曲率概念度量了沿着曲線的活動標架「沒有扭曲的轉動」。

沿着測地線的扭率

更一般地，在裝備一個仿射聯絡（即切線束的一個聯絡）的微分流形上，扭率與曲率構成了聯絡的兩個基本不變量。在這種意義下，扭率給出了切空間關於一條曲線平行移動怎樣扭曲的內蘊刻畫；而曲率描述了切空間沿着曲線怎樣旋轉。扭率可具體的描述為一個張量，或一個向量值2-形式。如果 ∇ 是微分流形上一個聯絡，那麼扭率張量用向量場 X 與 Y 表示定義為：

$T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$

這裏 [X,Y] 是向量場的李括號。

扭率在測地線幾何的研究特別重要。給定一個參數化測地線系統，我們一定指定一族仿射聯絡具有這些測地線，但是具有不同的扭率。具有惟一「吸收扭率」的聯絡，將勒維奇維塔聯絡推廣到其他，也許沒有度量的情形（比如芬斯勒幾何）。吸收扭率在G-結構與嘉當等價方法的研究中也起着重要的作用。扭率通過關聯的射影聯絡在研究測地線非參數族也很有用。在相對論中，這種想法以愛因斯坦-嘉當理論的形式提供了工具。

扭率張量

設 M 是切線束上帶有聯絡 ∇ 的流形。扭率張量（有時也稱為嘉當（扭率）張量）是一個向量值 2-形式，定義在向量場 X 於 Y上

$T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\ ,$

這裏 [X,Y] 是兩個向量場的李括號。由萊布尼茲法則，對任何光滑函數 f 有 T(fX,Y) = T(X,fY) = fT(X,Y)。所以 T 是一個張量，儘管是用非張量的共變導數定義的：它給出了切向量上的一個 2 形式，但共變導數隻對向量場有定義。

曲率和比安基恆等式

聯絡 ∇ 的曲率張量是一個映射 TM ∧ TM → End(TM) ，定義在向量場 X, Y, 與 Z 上

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z\ .$

注意，對位於一點的向量，這個定義與這個向量如何擴張成一個向量場的方式無關（即定義了一個張量，類似於扭率）。

比安基恆等式聯繫了曲率和扭率。 將 X, Y 與 Z 的循環求和記為 ${\mathfrak {S}}$，例如

${\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y\ .$

那麼下面的公式成立

1. 比安基第一恆等式：

${\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right)\ ,$

2. 比安基第二恆等式：

${\mathfrak {S}}\left((\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0\ .$

扭率張量的分量

扭率張量在切線束的局部截面的基 (e₁, ..., e_n) 下可寫成分量 $T^{c}{}_{ab}$。令 X=e_i，Y=e_j，引入交換子系數 γ^k_ije_k := [e_i,e_j]。那麼扭率的分量是

$T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.$

如果基是和樂的，則李括號變為零，$\gamma ^{k}{}_{ij}=0$，從而 $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$。特別地（見下），測地線方程式確定聯絡的對稱部分，而扭率張量確定反對稱部分。

扭率形式

扭率形式，是扭率的另一種刻畫，適用於 M 的標架叢 FM。這個主叢裝備有一個聯絡形式 ω，一個 gl(n)-值的 1-形式將豎直向量映到 gl(n) 中的右作用的生成元，且通過在 gl(n) 上的伴隨表示等變纏結於 GL(n) 在 FM 的切線束上的右作用。標架叢也帶有一個典範 1 形式 θ，取值於 Rⁿ，定義在標架 u ∈ F_xM（視為一個線性函數 u : Rⁿ → T_xM）為

$\theta (X)=u^{-1}(d\pi (X))$

這裏 π : FM → M 是主叢的投影映射。那麼扭率形式是

$\Theta =d\theta +\omega \wedge \theta \ .$

等價地， Θ = Dθ，這裏 D 是由聯絡確定的外共變導數。

扭率形式是一個取值於 Rⁿ的（水平）扭曲形式，意味着在 g ∈ Gl(n) 的右作用下等變：

$R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta \ ,$

這裏 g 通過它在 Rⁿ 上的基本表示作用在左邊。

曲率形式與比安基恆等式

曲率形式是 gl(n)-值 2-形式

$\Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega \ .$

這裏，D 同樣表示外共變導數。用曲率形式和扭率形式表示，相應的比安基恆等式為：

1. $D\Theta =\Omega \wedge \theta$
2. $D\Omega =0.\,$

進一步，我們可以從曲率形式和扭率形式復原曲率和扭率。在 F_xM 中的點 u，我們有

$R(X,Y)Z=u\left(2\Omega (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right)(u^{-1}(Z)),$

$T(X,Y)=u\left(2\Theta (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right),$

這裏 u : Rⁿ → T_xM 是確定纖維中標架的函數，且向量通過 π^-1 的提升與選取無關，因為曲率和扭率形式是水平的（它們在不確定的豎直向量上為 0）。

標架中的曲率形式

參見：聯絡形式

扭率形式可用底流形 M 上的聯絡形式，在切線束的一個特殊的標架 (e₁,...,e_n) 下寫出。聯絡形式表述這些截面的外共變導數

$D{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\mathbf {e} }_{j}\omega _{i}^{j}\ .$

切線束的焊接形式（關於這個標架）是 e_i 的對偶基 θⁱ ∈ T^*M，所以 θⁱ(e_j) = δⁱ_j （克羅內克函數）

那麼扭率 2-形式有分量

$\Theta ^{k}=d\theta ^{k}+\sum _{j=1}^{n}\omega _{j}^{k}\wedge \theta ^{j}=\sum _{i,j}T_{ij}^{k}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}\ .$

在最右邊的表達式中，

$T_{ij}^{k}=\theta ^{k}(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}])$

是扭率張量的標架分量，由首先的定義給出。

容易證明 Θⁱ 像張量一個變化：如果另一個標架

${\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{j}\mathbf {e} _{j}g_{i}^{j}$

對某個可逆矩陣值函數 (g_i^j)，那麼

${\tilde {\Theta }}^{i}=(g^{-1})_{j}^{i}\Theta ^{j}.$

換句話說，Θ 是 (1,2) 型張量（一個反變、兩個共變指標）。

做為另一種選擇，焊接形式能用無標架形式刻畫為 M 上的 TM-值 1形式θ，在對偶同構 End(TM) ≈ TM ⊗ T^*M 下對應於切線束的恆等同態。則扭率 2-形式是

$\Theta \in {\text{Hom}}(\wedge ^{2}TM,TM)$

的一個截面，由

$\Theta =D\theta \ ,$

給出。這裏 D 是外共變導數（更多細節參見聯絡形式）。

不可約分解

扭率張量可以分解為兩個不可約部分：不含跡的部分與包含跡的部分。用指標記法，T 的跡為

$a_{i}=T_{ik}^{k}\ ,$

不含跡的部分為

$B_{jk}^{i}=T_{jk}^{i}+{\frac {1}{n-1}}\delta _{j}^{i}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta _{k}^{i}a_{j}$

這裏 δⁱ_j 是克羅內克函數。

本質上有，

$T\in \operatorname {Hom} \left(\wedge ^{2}TM,TM\right)\ .$

T 的跡 tr T，是如下定義的 T^*M 中一個元素。對固定的任何向量X ∈ TM，T 定義了一個 Hom(TM, TM) 中一個元素 T(X)，通過

$T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y)\ .$

那麼 (tr T)(X) 定義為這個同態的跡。這就是，

$(\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X))\ .$

T 不含跡的部分為

$T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T)$

這裏 ι 表示內乘。

作為比安基恆等式的推論，1-形式 tr T 是一個閉 1-形式：

$d(\operatorname {tr} \,T)=0\ ,$

這裏 d 是外導數。

特徵描述與解釋

這一節中總是假設：M 是微分流形，∇ 是 M 切線束上的共變導數除非另外指明。

仿射進化

假設 x_t 是 M 上一條曲線。x_t 的仿射進化定義為 T_x0M 中惟一的曲線 C_t 使得

${\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t},\quad C_{0}=0$

這裏

$\tau _{t}^{0}:T_{x_{t}}M\to T_{x_{0}}M$

是與 ∇ 關聯的平行移動。

特別地，如果 x_t 是一個閉環路，則 C_t 是否閉取決於聯絡的扭率。從而扭率解釋為曲線的 development 的螺位錯。這樣，扭率與聯絡的和樂轉移分量聯繫起來。相伴的曲率概念描繪了無窮小線性轉換（在黎曼聯絡情形或為旋轉）。

參考標架的扭曲

在經典曲線的微分幾何中，弗萊納公式描述了一個特別的活動標架（弗萊納標架）沿着一條曲線怎樣「扭曲」。用物理語言，扭率對應於一個假想的沿着曲線的陀螺的角動量。

帶有（度量）聯絡的流形可類比地解釋。假設一個觀察者沿着這個聯絡下的測地線移動。這個觀察者通常認為自己是在慣性參考系中，因為她沒有經歷過加速度。另外假設觀察者攜帶着一個剛性直測量杆系統（一個坐標系）。每根杆都是直線段，一條測地線。假設每根杆沿着軌道都是平行移動，這些杆是沿着軌跡物理的「攜帶」的事實意味着是「李拖曳」或傳播，所以沿着切向量每根杆子的李導數為零。類似於弗萊納標架上的陀螺，它們可能經受力矩（或扭力）。這個力便由扭率衡量。

更準確地，假設觀察者沿着測地線 γ(t) 移動，攜帶着一個測量杆。當觀察者移動時，杆子掃過一個曲面。沿着這個曲面有一個自然坐標系 (t,x)，這裏 t 是由觀察者確定的時間參數，x 是沿着測量杆的長度。測量杆須沿着曲線平行移動的條件為

$\left.\nabla _{\partial /\partial \tau }{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{x=0}=0.$

從而，扭率由

$\left.T\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right)\right|_{x=0}=\left.\nabla _{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right|_{x=0}.$

給出。如果不是零，則杆上標出的這點（點 x =  常曲線）的軌跡為螺旋而不是測地線。它們將繞着觀察者旋轉。

這種扭率的解釋在平行重力理論中扮演着重要的角色。平行重力理論，也稱為愛因斯坦-嘉當理論，是相對論的一種替代性表述。

纖維的扭率

在材料科學中，特別是彈性理論，扭率的想法也扮演着重要的角色。其中一個問題是藤生長的建模，專注於藤如何能繞着物件纏繞。藤自身模型化為一對相互纏繞的彈性纖維。在其能量極小狀態，藤自然生長成一個螺旋狀。但是藤也有可能伸長以達到廣度（或長度）最大化。在此情形，藤的扭率與這對纖維的扭率有關（或等價地，連結兩條纖維的帶子的曲面扭率），這反映了藤的長度最大化（測地線）佈局與能量最小化佈局之間的差異。

扭率與渦旋

在流體力學中，扭率自然與渦線相關。

測地線與扭率的吸收

假設 γ(t) 是 M 上一條曲線。則 γ 是一條仿射參數化測地線如果

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0$

對屬於 γ的定義域中所有時間 t（這裏點表示關於 t 求導，得到了 γ(t) 處切向量 ${\dot {\gamma }}(t)$）。每條測地線由初始 t=0 切向量${\dot {\gamma }}(0)$ 惟一確定。

聯絡的扭率的一個運用涉及到聯絡的測地波浪（geodesic spray）：粗略地講為所有仿射參數化測地線。

用測地波浪將聯絡分類時，不同扭率不能區分開來：

• 兩個聯絡 ∇ 與 ∇′ 具有相同的仿射參數化測地線（即相同的測地波浪），只在扭率有區別。

更準確地，如果 X 與 Y 是 p ∈ M的一對切向量，那麼令

$\Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}$

是兩個聯絡的差，用 X 與 Y 從 p 處的任意擴張計算。由萊布尼茲乘積法則，我們看出 Δ 事實上與 X 和 Y 如何擴張無關（所以定義了 M 上一個張量）。設 S與 A 分別為 Δ 的對稱與交替部分：

$S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)$

$A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)$

則

• $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ 是扭率張量之差。
• ∇ 與 ∇′ 定義了相同的仿射參數化測地線族當且僅當 S(X,Y) = 0。

換句話說，兩個聯絡之差的對稱部分決定了它們是否具有相同的參數化測地線，然而差的斜對稱部分由這兩個聯絡的相對扭率決定。另一個推論是

• 給定任何仿射聯絡 ∇，存在惟一一個無撓聯絡 ∇′ 具有共同的仿射參數化測地線。

這是黎曼幾何基本定理到（也許無度量）仿射聯絡的一個推廣。選出從屬於一族參數化測地線惟一的聯絡也稱為扭率的吸收，這是嘉當等價方法的一個使用之處。

另見

• 曲率張量
• Contorsion tensor
• 勒維奇維塔聯絡
• 曲線的扭率

參考文獻

• Bishop, R.L.; Goldberg, S.I., Tensor analysis on manifolds, Dover, 1980 
• Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1923, 40: 325–412 [2008-11-06]. （原始內容存檔於2014-04-11）. 
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• Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Houston, Texas: Publish or Perish, 1999, ISBN 0914098713