指數分佈

機率分布

機率論統計學中,指數分佈(英語:Exponential distribution)是一種連續機率分佈。指數分佈可以用來建模平均發生率恆定、連續、獨立的事件發生的間隔,比如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。

指數分配
機率密度函數
機率密度函數
累積分佈函數
累積分配函數
參數
值域
機率密度函數
累積分佈函數
期望值
中位數
眾數
變異數
偏度
峰度
動差母函數
特徵函數

記號

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指數分佈即形狀參數α為1的伽瑪分佈

若隨機變量 服從參數為  的指數分佈,則記作

  

兩者意義相同,只是  互為倒數關係。只要將以下式子做 的替換即可,即,指數分佈之機率密度函數為:

 

 


累積分佈函數為:

 

 


其中 是分佈的參數,即每單位時間發生該事件的次數; 為尺度參數,即該事件在每單位時間內的發生率。兩者常被稱為率參數(rate parameter)。指數分佈的區間是[0,∞)。

特性

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期望值與方差

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隨機變量X (X參數為λ或β) 的期望值是:

 

例如:如果你平均每個小時接到2次電話,那麼你預期等待每一次電話的時間是半個小時。

X方差是:

 

X偏態系數是: V[X] = 1

無記憶性

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指數函數的一個重要特徵是無記憶性(Memoryless Property,又稱遺失記憶性)。這表示如果一個隨機變量呈指數分佈,它的條件機率遵循:

 

與泊松過程的關係

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泊松過程是一種重要的隨機過程。泊松過程中,第k次隨機事件與第k+1次隨機事件出現的時間間隔服從指數分佈。而根據泊松過程的定義,長度為t的時間段內沒有隨機事件出現的機率等於

 ,

長度為t的時間段內隨機事件發生一次的機率等於  , 所以第k次隨機事件之後長度為t的時間段內,第k+n次 (n=1, 2, 3,...)隨機事件出現的機率等於 。這是指數分佈。這還表明了泊松過程的無記憶性。

四分位數

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率參數λ的四分位數函數(Quartile function)是:

 
  • 第一四分位數: 
  • 中位數 
  • 第三四分位數: 

因此,四分位距為ln(3)/λ

參數估計

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最大似然法

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給定獨立同分佈樣本x = (x1, ..., xn),λ的似然函數(Likelihood function)是:

 

其中:

 是樣本期望值値。

似然函數對數導數是:

 

參數λ的最大似然估計(Maximum likelihood)值是:

 

參見

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參考文獻

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  1. Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
  2. Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401

外部連結

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