李亞普諾夫方程

李亞普諾夫方程(英語:Lyapunov equation)是控制理論中的名詞,離散李亞普諾夫方程的型式如下:

其中埃爾米特矩陣共軛轉置而連續李亞普諾夫方程則是

李亞普諾夫方程應用在控制理論中的許多分支中,例如穩定性分析最優控制。李亞普諾夫方程是得名自俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫

在穩定性中的應用

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在以下的定理中, ,且  是對應矩陣。而 的意思是指 矩陣為正定矩陣

定理(連續時間版本):給定任意 ,存在唯一 滿足 的充份必要條件是線性系統 是全域漸近穩定。二次函數 李亞普諾夫函數,可以驗證系統的穩定性。

定理(離散時間版本):給定任意 ,存在唯一 滿足 的充份必要條件是線性系統 是全域漸近穩定。 為其李亞普諾夫函數。

求解的計算層面

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有特殊的軟件可以求解李亞普諾夫方程。若是離散型式,常會用Kitagawa的Schur法[1],若是連續型式,則會用Bartels和Stewart的計算法[2]

解析解

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定義 (向量化)運算子是將矩陣A的所有列堆起來所形成的列向量,而   克羅內克積。兩種李亞普諾夫方程都可以用矩陣方程的解來表示。而且,若矩陣 穩定,解也可以用積分(連續時間)或是無限項和(離散時間)來表示。

離散時間

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利用 的結果,可以得到

 

其中 可相乘英語conformable的單位矩陣[3]。可以積分或或是求解線性方程,即可以得到 。再將各列重新整理,即可得到 

而且,若 穩定,解 也可以表示為

 

連續時間

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再利用克羅內克積和 運算子,可以得到矩陣方程

 

其中 是將 各元素取共軛得到的矩陣。

類似離散時間的情形,若 穩定,解 也可以表示為

 .

相關條目

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參考資料

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  1. ^ Kitagawa, G. An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S. International Journal of Control. 1977, 25 (5): 745–753. doi:10.1080/00207177708922266. 
  2. ^ Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582. 
  3. ^ Hamilton, J. Time Series Analysis. Princeton University Press. 1994. Equations 10.2.13 and 10.2.18. ISBN 0-691-04289-6. 

外部連結

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