格羅莫夫–威滕不變量

辛拓撲和代數幾何中，格羅莫夫–威滕（GW）不變量是有理數，某些情形下可計算在給定辛流形中符合給定條件的偽全純曲線。GW不變量可打包為適當空間中的同調或上同調類，或量子上同調的上積。這些不變量可用於區分辛流形（以前無法區分），在閉IIA型弦論中起着至關重要的作用。它們得名於米哈伊爾·格羅莫夫和愛德華·威滕。

格羅莫夫-威滕不變量的嚴格數學定義冗長而困難，在穩定映射條目中單獨討論。本文的重點在直觀解釋不變量的含義、計算方法及其重要性。

定義

考慮：

X：2k維閉辛流形；
A：X中的2維同調類；
g：非負整數；
n：非負整數。

現在定義與4元組 $(X,\ A,\ g,\ n)$ 相關的格羅莫夫–威滕不變量。令 ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ 為虧格為g、有n個標記點的曲線的德利涅-芒福德模空間，令 ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ 表示對X上某與其辛形式相容的殆復結構J，到X的A類穩定映射的模空間。 ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ 的元素具有如下形式：

(C,x_{1},\ldots ,x_{n},f),

其中C是（不必穩定）曲線，有n個標記點 $x_{1},\ \dots ,\ x_{n}$ 與偽全純的 $f:\ C\to X$ 。模空間的實維度為

d:=2c_{1}^{X}(A)+(2k-6)(1-g)+2n.

令

\mathrm {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}

表示曲線的穩定化。置

Y:={\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times X^{n},

具有實維度 $6g-6+2(k+1)n$ 。有求值映射

{\begin{cases}\mathrm {ev} :{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)\to Y\\\mathrm {ev} (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)=\left(\operatorname {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})\right).\end{cases}}

求值映射將 ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ 的基本類送到Y中的d維有理同調類，記作

GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbb {Q} ).

從某種意義上說，這個同調類就是對於X，數據為g、n、A的格羅莫夫–威滕不變量，是辛流形X的辛同痕類的不變量。

要從幾何角度解釋格羅莫夫–威滕不變量，令β為 ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ 中的同調類， $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ 為X中的同調類，使 $\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ 的余維之和為d。根據克奈公式，這些都會在Y中產生同調類。置

GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdots \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),

其中 $\cdot$ 表示Y的有理同調中的交積。這是一個有理數，即給定類的格羅莫夫–威滕不變量。這個數字給出了偽全純曲線（A類中，虧格為g，域位於德利涅-芒福德空間的β部分，有n個標記點映射到表示 $\alpha _{i}$ 的循環）的「虛擬」計數。

簡單說，GW不變量就是計算有多少條曲線同X的n個選定子流形相交。然而，由於計數的「虛擬」性，它不一定是自然數。因為穩定映射的空間是軌形，其各向同性點可為不變量貢獻非整數值。

這種構造有多種變體，如用上同調取代同調，用積分取代交，從德利涅-芒福德空間拉回的陳類也被積分，等等。

計算技巧

格羅莫夫–威滕不變量通常很難計算。雖然它們是為任何一般殆復結構J定義的，其中 ${\bar {\partial }}_{j,J}$ 算子的線性化D是滿射，但實際上必須針對特定的選定J計算。事實上，計算通常是在凱勒流形上利用代數幾何技術進行的。

然而，特殊的J可能誘導非滿射的D，從而使得偽全純曲線的模空間大於預期。粗略地說，我們可以通過從D的余核形成向量叢（稱作阻礙叢，obstruction bundle），然後將GW不變量變為阻礙叢的歐拉類的積分，以糾正這種影響。要精確化這一思想，需要利用倉西結構進行大量技術論證。

主要的計算技術是局部化，適用於X是環面的狀況，即它是由復環面作用的，或至少是局部環面的。然後，我們可以利用阿蒂亞-博特定點定理將GW不變量的計算簡化（局部化）為對作用定點軌跡的積分。

另一種手法是利用辛技術，將X同其他空間聯繫起來，其GW不變量更容易計算。當然，必須首先了解不變量在辛技術中的表現。這時，我們常用更複雜的相對GW不變量，即沿着X的實維度為2的辛子流形，計算滿足切線條件的曲線。

在物理學中的應用

GW不變量在弦論中很熱門。弦論試圖統一廣義相對論與量子力學。其中萬事萬物都是由微小的弦構成的。弦在時空中穿行時，會描繪出一個面，稱作弦的世界面。不幸的是，這種參數化面的模空間是無窮維的（至少先驗地是）；其上沒有已知的適當測度，於是這種理論的路徑積分表述缺乏嚴格定義。

在稱作閉A模型的變體中，情況有所改善。這裏有6個時空維度，構成了辛流形，而可證明世界面必由偽全純曲線參數化，其模空間是有限維的。作為模空間上的積分，GW不變量就是這種理論的路徑積分。特別是，A模型在虧格為g時的自由能是虧格為g的GW不變量的母函數。

另見

參考文獻

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Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias. Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. Thomas, C. B. (編). Contact and Symplectic Geometry . Cambridge University Press. 1996: 171–200. ISBN 0-521-57086-7.

閱讀更多

Moduli Spaces of Genus-One Stable Maps, Virtual Classes and an Exercise of Intersection Theory - Andrea Tirelli
Kock, Joachim; Vainsencher, Israel. An Invitation to Quantum Cohomology: Kontsevich's Formula for Rational Plane Curves. New York: Springer. 2007. ISBN 978-0-8176-4456-7. A nice introduction with history and exercises to the formal notion of moduli space, treats extensively the case of projective spaces using the basics in the language of schemes.
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Notes on stable maps and quantum cohomology

研究論文

Gromov-Witten theory of schemes in mixed characteristic