梯形法則 (微分方程)

在 數值分析 和 計算科學， 梯形法則 是一個 求解常微分方程的數值方法。 該方法由 梯形公式 推導出，用於計算積分。 梯形法則是一個隱式的二階的方法，這可以被視為一個 龍格–庫塔法 和 線性多步法.

方法

假設我們欲求解如下微分方程

$y'=f(t,y).$

梯形法則由如下方程給出

$y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}){\Big )},$

其中 $h=t_{n+1}-t_{n}$ 為步長.

這是一個隱式方法: 函數值 $y_{n+1}$ 出現在方程的左右兩邊, 為了實際計算它，我們必須求解一個方程（通常為非線性）。其中一種解方程的方法為 牛頓法。我們可以用 歐拉方法 來獲得一個不錯的解的估計值，以作為牛頓法的初始值