歐拉第一定律表明，從某慣性參考系 觀測，施加於剛體的淨外力，等於剛體質量 與質心 加速度 的乘積。[ 3]
F
(
e
x
t
)
=
m
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}=m\mathbf {a} _{cm}}
其中，
F
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}}
m
{\displaystyle m}
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {a} _{cm}}
剛體的平移運動 等同於位於其質心、具有其質量的粒子，感受到同樣的淨外力，而呈現的運動。
思考由
n
{\displaystyle n}
r
c
m
{\displaystyle \mathbf {r} _{cm}}
r
c
m
=
d
e
f
∑
i
=
1
n
m
i
r
i
m
{\displaystyle \mathbf {r} _{cm}{\stackrel {def}{=}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{m}}}
其中，
m
i
{\displaystyle m_{i}}
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
i
{\displaystyle i}
位置 ，
m
=
∑
i
=
1
n
m
i
{\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}m_{i}}
質心速度
v
c
m
{\displaystyle \mathbf {v} _{cm}}
v
c
m
=
d
r
c
m
d
t
=
∑
i
=
1
n
m
i
v
i
m
{\displaystyle \mathbf {v} _{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{cm}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}}{m}}}
其中，
v
i
=
d
r
i
d
t
{\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}}
i
{\displaystyle i}
速度 。
質心加速度
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {a} _{cm}}
a
c
m
=
d
v
c
m
d
t
=
∑
i
=
1
n
m
i
a
i
m
{\displaystyle \mathbf {a} _{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{cm}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {a} _{i}}{m}}}
其中，
a
i
=
d
2
r
i
d
t
2
{\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\frac {\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}
i
{\displaystyle i}
加速度 。
第
i
{\displaystyle i}
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
F
i
=
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}}
其中，
F
i
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(ext)}}
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{ji}}
j
{\displaystyle j}
i
{\displaystyle i}
系統感受到的淨力
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
F
=
∑
i
=
1
n
F
i
=
∑
i
=
1
n
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}}
根據牛頓第三定律 ，內力與其反作用力的關係為
F
j
i
=
−
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{ji}=-\mathbf {F} _{ji}}
所以，所有粒子彼此施加於對方的內力的向量和為零，淨力等於所有外力的向量和 （淨外力
F
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}}
F
=
∑
i
=
1
n
F
i
(
e
x
t
)
=
F
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(ext)}=\mathbf {F} ^{(ext)}}
根據牛頓第二定律 ，第
i
{\displaystyle i}
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
F
i
=
m
i
a
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}}
總和所有粒子所感受到的力，
F
=
∑
i
=
1
n
F
i
=
∑
i
=
1
m
i
a
i
=
m
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}m_{i}\mathbf {a} _{i}=m\mathbf {a} _{cm}}
所以，淨外力
F
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}}
F
(
e
x
t
)
=
m
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}=m\mathbf {a} _{cm}}
多粒子系統的動量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
p
=
∑
i
=
1
n
p
i
=
∑
i
=
1
n
m
i
v
i
=
m
v
c
m
{\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}=m\mathbf {v} _{cm}}
其中，
p
i
{\displaystyle \mathbf {p} _{i}}
i
{\displaystyle i}
歐拉第一定律又可以表達為
F
(
e
x
t
)
=
d
p
d
t
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}
假設淨外力為零，則系統的動量守恆。
歐拉第二定律表明，設定某慣性參考系 的固定點O（例如，原點 ）為參考點，施加於剛體的淨外力矩 ，等於角動量 的時間變化率。歐拉第二定律以方程式表達為
τ
O
(
e
x
t
)
=
d
L
O
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}}
其中，
τ
O
(
e
x
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}}
L
O
{\displaystyle \mathbf {L} _{O}}
思考由
n
{\displaystyle n}
i
{\displaystyle i}
L
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}}
L
i
=
r
i
×
p
i
=
r
i
×
m
i
v
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}}
L
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}}
d
L
i
d
t
=
d
(
r
i
×
m
i
v
i
)
d
t
=
v
i
×
m
i
v
i
+
r
i
×
m
i
a
i
=
r
i
×
m
i
a
i
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i})}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {a} _{i}}
根據牛頓第二定律 ，施加於第
i
{\displaystyle i}
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
L
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}}
d
L
i
d
t
=
r
i
×
F
i
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}}
第
i
{\displaystyle i}
τ
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}}
τ
i
=
r
i
×
F
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}}
τ
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}}
L
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}}
τ
i
=
d
L
i
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}}
總和所有粒子所感受到的淨力矩，系統所感受到的淨力矩
τ
O
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}}
L
O
{\displaystyle \mathbf {L} _{O}}
τ
O
=
∑
i
=
1
n
τ
i
=
d
d
t
∑
i
=
1
n
L
i
=
d
L
O
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {L} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}}
第
i
{\displaystyle i}
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
F
i
=
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}}
第
i
{\displaystyle i}
τ
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}}
τ
i
=
r
i
×
F
i
=
r
i
×
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
r
i
×
F
j
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}}
物體感受到的淨力矩
τ
O
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}}
τ
O
=
∑
i
=
1
n
τ
i
=
∑
i
=
1
n
r
i
×
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
r
i
×
F
j
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}}
應用牛頓第三定律 ，
r
i
×
F
j
i
+
r
j
×
F
j
i
=
r
i
×
F
j
i
−
r
j
×
F
j
i
=
(
r
i
−
r
j
)
×
F
j
i
=
r
i
j
×
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}+\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}-\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\times \mathbf {F} _{ji}=\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {F} _{ji}}
其中，
r
i
j
=
r
i
−
r
j
{\displaystyle \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}}
r
j
{\displaystyle \mathbf {r} _{j}}
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
假設這系統的粒子遵守強版牛頓第三定律 ，即粒子運動為經典運動，速度超小於光速 ，則
r
i
j
{\displaystyle \mathbf {r} _{ij}}
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{ji}}
叉積 為零。那麼，物體感受到的淨力矩是所有外力矩的向量和
τ
O
(
e
x
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}}
τ
O
=
∑
i
=
1
n
r
i
×
F
i
(
e
x
t
)
=
τ
O
(
e
x
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}={\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}}
這樣，可以得到歐拉第二定律方程式
τ
O
(
e
x
t
)
=
d
L
O
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}}
假設施加於系統的淨外力矩為零，則系統的角動量的時間變化率為零，系統的角動量守恆。
所有粒子所感受到的淨力矩的向量和為
τ
O
=
∑
i
=
1
n
τ
i
=
∑
i
=
1
n
r
i
×
(
m
i
a
i
)
=
∑
i
=
1
n
(
r
c
m
+
r
i
′
)
×
(
m
i
(
a
c
m
+
a
i
′
)
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r} _{cm}+\mathbf {r} '_{i})\times (m_{i}(\mathbf {a} _{cm}+\mathbf {a} '_{i}))}
其中，
r
i
′
=
r
i
−
r
c
m
{\displaystyle \mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{cm}}
a
i
′
=
a
i
−
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {a} '_{i}=\mathbf {a} _{i}-\mathbf {a} _{cm}}
i
{\displaystyle i}
注意到所有粒子的相對位移與相對加速度，其向量和分別為零，所以，
τ
O
=
r
c
m
×
m
a
c
m
+
∑
i
=
1
n
r
i
′
×
m
i
a
i
′
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\mathbf {r} _{cm}\times m\mathbf {a} _{cm}+\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {a} '_{i}}
現在，假設將質心設定為參考點，則
r
c
m
=
0
{\displaystyle \mathbf {r} _{cm}=0}
τ
c
m
=
∑
i
=
1
n
r
i
′
×
m
i
a
i
′
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{cm}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {a} '_{i}}
以質心為參考點，角動量
L
c
m
{\displaystyle \mathbf {L} _{cm}}
L
c
m
=
∑
i
=
1
n
r
i
′
×
m
i
v
i
′
{\displaystyle \mathbf {L} _{cm}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {v} '_{i}}
所以，不論質心參考系是否為慣性參考系（即不論質心是否呈加速度運動），以質心為參考點，淨外力矩等於角動量的時間變化率：
τ
c
m
=
d
L
c
m
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{cm}}{\mathrm {d} t}}}
在可變形體內部任意位置的內力密度不一定一樣，也就是說，其內部存在有應力 分佈。這內部的內力的變化是由牛頓第二定律主控。通常，牛頓第二定律是應用於計算質點或粒子的動力運動，但在連續介質力學 裏，被加以延伸後，可以應用於計算具有連續分佈質量的物體的運動行為。假設將物體模型化為由一群離散粒子組構而成，每一個粒子的運動都遵守牛頓第二定律，則可以推導出歐拉運動定律。不論如何，歐拉運動定律也可以直接視為專門描述大塊物體運動的公理，與物體結構無關。[ 4]
在塑性力學 （plasticity theory）裏，施加於一個連續物體B的力可以分類為兩種：「長程力」與「短程力」。長程力作用於整個物體的每一部分，稱為徹體力 （body force ），而短程力只能作用於物體表面，稱為接觸力 （contact force ）。這樣，施加於連續物體的淨力
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
F
b
{\displaystyle \mathbf {F} _{b}}
F
t
{\displaystyle \mathbf {F} _{t}}
F
b
=
∫
V
b
d
m
=
∫
V
ρ
b
d
V
{\displaystyle \mathbf {F} _{b}=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {b} \,\mathrm {d} m=\int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V}
F
t
=
∫
S
t
d
S
{\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\int _{\mathbb {S} }\mathbf {t} \,\mathrm {d} S}
其中，
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
量綱 為力每單位質量），
d
m
{\displaystyle \mathrm {d} m}
ρ
{\displaystyle \rho }
d
V
{\displaystyle \mathrm {d} V}
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
t
{\displaystyle \mathbf {t} }
表面曳力 （surface traction ）密度，
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} S}
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
由於徹體力與接觸力施加於物體，造成了以某設定點為參考點的對應力矩。這樣，對於原點的淨力矩
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
L
b
{\displaystyle \mathbf {L} _{b}}
L
t
{\displaystyle \mathbf {L} _{t}}
L
b
=
∫
V
r
×
ρ
b
d
V
{\displaystyle \mathbf {L} _{b}=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V}
L
t
=
∫
S
r
×
t
d
S
{\displaystyle \mathbf {L} _{t}=\int _{\mathbb {S} }\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,\mathrm {d} S}
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
歐拉第一定律（「力平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨外力等於淨動量的時間變化率：
F
=
d
p
d
t
{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}
也就是說，
∫
V
ρ
b
d
V
+
∫
S
t
d
S
=
d
d
t
∫
V
ρ
v
d
V
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V+\int _{\mathbb {S} }\mathbf {t} \,\mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {v} \,\mathrm {d} V}
其中，
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
歐拉第二定律（「角動量平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨力矩等於淨角動量的時間變化率：
τ
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}
也就是說，
∫
V
r
×
ρ
b
d
V
+
∫
S
r
×
t
d
S
=
d
d
t
∫
V
r
×
ρ
v
d
V
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V+\int _{\mathbb {S} }\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,\mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,\mathrm {d} V}
