泛性質

在數學的很多分支，經常用「在給定某些條件下存在唯一態射」這種形式的性質來定義一些構造。這種性質統稱為泛性質（英語：Universal property），有時也稱為萬有性。範疇論研究泛性質。

了解泛性質最好先研究一些例子。如：群積、直和、自由群、積拓撲、斯通-切赫緊緻、張量積、反極限、直極限、核與上核、拉回、推出、等子等。

定義

設U : D → C為一函子，X為C的對象。從X到U的泛態射為偶(A, φ)，其中A為D的對象，φ : X → U(A)為C中滿足如下泛性質的態射：

• 對任意D的對象Y和任意C的態射f : X → U(Y)，存在唯一的態射g : A → Y使得下圖可交換：

從X到U的泛態射

態射g的存在保證A具有足夠的性質，其唯一性又限制A不再有額外的性質。

使用對偶原則可得上述的對偶概念：從U到X的泛態射為偶(A, φ)，其中A為D的對象，φ : U(A) → X為C的態射，滿足如下泛性質：

• 對任意D的對象Y和任意C的態射f : U(Y) → X，存在唯一的態射g : Y → A使得下圖可交換：

從U到X的泛態射

註：有時後者也稱為上泛態射。

性質

存在性和唯一性

具有泛性質的構造不一定存在。給定上述函子U和對象X，從X到U（或從U到X）的泛態射不一定存在。然而，若其存在，則該構造在同構下唯一。也就是說，若(A′, φ′)為另一個滿足該條件的泛態射，則存在唯一的同構態射g : A → A′滿足φ′ = U(g)φ。用(A′, φ′)代替定義中的(Y, f)易知該結論成立。

其它等價定義

泛態射可通過其它途徑定義。設U為從D到C的函子，X為C的對象，則下列語句等價：

• (A, φ)為從X到U的泛態射
• (A, φ)為逗號範疇(X ↓ U)的始對象
• (A, φ)為Hom_C(X, U—)的表示。

其對偶語句也同樣等價：

• (A, φ)為從U到X的泛態射
• (A, φ)為逗號範疇(U ↓ X)的終對象
• (A, φ)為Hom_C(U—, X)的表示。

與伴隨函子的關係

設(A₁, φ₁)為從X₁到U的泛態射，(A₂, φ₂)為從X₂到U的泛態射。根據泛性質，對任意態射h : X₁ → X₂，存在唯一態射g : A₁ → A₂使得下圖可交換：

若對任意C的對象X_i存在到U的泛態射，則映射X_i $\mapsto$ A_i和h $\mapsto$ g確定一個函子 V : C → D。此時，φ_i確定從1_C（C上的恆等函子）到U V的一個自然變換。因此(V, U)構成一對伴隨函子，V左伴隨U，U右伴隨V。

利用對偶原則同樣可得U的右伴隨函子V : C → D。

事實上，所有的伴隨函子都產生與類似的泛構造。設F和G為一對伴隨函子，單位元為&eta，上單位元為&epsilon（定義見伴隨函子）。任意C和D的對象存在泛態射。

• 對任意C的對象X，(F(X), η_X)為從X到G的泛態射。即，對任意f : X → G(Y)，存在唯一g : F(X) → Y使得下圖可交換。
• 對任意D的對象Y，(G(Y), ε_Y)為從F到Y的泛態射。即，對任意g : F(X) → Y，存在唯一f : X → G(Y)使得下圖可交換。

伴隨函子對的泛性質

泛構造的概念廣於伴隨函子：泛構造類似優化問題，伴隨函子存在若且唯若該優化問題對任何C的對象（或對任何D的對象）均存在解。

舉例

張量代數

設C為域K上的向量空間範疇 K-Vect，D為K上的代數範疇（假定滿足unitall和結合律），U為將代數映射為所基向量空間的遺忘函子。

給定任何基於K的向量空間V，構造V的張量代數T(V)。此張量代數的泛性質體現為偶(T(V), i)（其中i : V → T(V)為一inclusion map）是從V到U的泛態射。

由於此方法適用於任何V，因此T為從K-Vect到K-Alg的函子，且為U的左伴隨。

核

設D為一存在零態射的範疇（如群範疇），f : X → Y為D的一態射。f的核為滿足下列條件的任意態射k : K → X：

• f k為從K到Y的零態射；
• 對任意態射k′ : K′ → X，若f k′為零態射，則存在唯一態射u : K′ → K滿足k u = k′。

為理解上述同泛態射的關係，定義D中態射的範疇C，對象為D的所有態射f : X → Y，從f : X → Y到g : S → T的態射為一對態射α : X → S和β : Y → T構成的偶(α, β)，滿足βf = fα。

定義函子F : D → C，映射對象K到零態射0_KK : K → K，映射態射r : K → L到偶(r, r)。

給定D的態射f : X → Y（看作C的對象）及D的對象K。從F(K)到f的態射為偶(k, l)滿足f k = l 0_KK = 0_KY（此即為上述核的泛性質）。可以看出，「從F到f的泛態射」即為核的泛性質。

極限與上極限

極限與上極限為範疇論中重要的泛構造。設J為小範疇、C為範疇，J看作為C的索引範疇。記C^J為相應的函子範疇。對角函子 Δ : C → C^J 將C中每個對象N映射到常函子Δ(N) : J → C to N (i.e. 對任意X屬於J有Δ(N)(X) = N).

給定函子F : J → C（看作C^J的對象），F的極限，若存在，即為從Δ到F的泛態射。由對偶性質，F的上極限為F到Δ的泛態射。

用途

使用泛性質定義構造有如下優點：

• 泛性質定義的對象在同構下唯一，因此證明兩個對象同構的一個方法是找出其同時滿足的泛性質。
• 定義某構造的具體細節一般較為繁瑣，利用泛性質可不考慮這些細節，證明往往變得簡潔明了。
• 如果泛構造對任何對象都存在時可確定一個函子。
• 更進一步，該函子為U的伴隨函子。此時可以利用右伴隨和極限可交換（左伴隨和上極限可交換）的性質。

歷史

Pierre Samuel在1948年給出了多種拓撲結構的泛性質。布爾巴基大量使用了其結論。丹尼爾·闞與1958年獨立發現了與其密切相關的伴隨函子概念。

參考文獻

• Cohen, Paul M., Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1.
• Mac Lane, Saunders, Categories for the Working Mathematician 2nd ed. (1998), Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.