焦散線

微分幾何中，焦散線（caustic）指由流形反射或折射的射線的包絡線。這與幾何光學中的焦散現象有關。射線的來源可以是點（輻射點，radiant）或來自無窮遠處某點的平行射線，這時要指定射線的方向向量。

由圓和平行光線生成的反射焦散線。在一邊，每個點都包含在3條射線中；另一邊，每個點都包含在1條射線中。

一般來說，應用於辛幾何與奇點理論中的焦散線指拉格朗日映射$(\pi \circ i):\ L\hookrightarrow M\twoheadrightarrow B$的臨界值集，其中$i:\ L\hookrightarrow M$是拉格朗日子流形L到辛流形M的拉格朗日浸入，$\pi :\ M\twoheadrightarrow B$是辛流形M的拉格朗日纖維化。焦散是拉格朗日纖維化基空間B的子集。

解釋

射線經過非平面折射後，在許多光線交叉的地方會形成焦散線。

集中的光線（如陽光）會灼傷人。「焦散」（caustic）一詞來自希臘語καυστός「燒焦」，途經拉丁語causticus「燃燒」。

光線照射在酒杯上時，就會出現焦散現象。玻璃杯會投射出陰影，也會產生彎曲的亮區。在理想情況下（包括平行光射入時）會產生腎形光斑。光線穿過波浪照射在水體上時，通常會形成波紋狀的焦散線。

彩虹是人們熟悉的另一種焦散現象。雨滴對光的散射會使不同波長的光折射成半徑不同的弧線，從而產生彩虹。

回光線

回光線（catacaustic）是反射的情形。

對於點光源，它是輻射點正交（orthotomic）的漸屈線。

平面平行光源情況：假設方向向量是$(a,b)$，鏡面曲線參數化為$(u(t),v(t))$。某點的法向量為$(-v'(t),u'(t))$；方向向量的反射為（法向量需要特殊歸一化處理）

$2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}$

將找到的反射向量的分量視作切線

$(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).$

使用最簡單的包絡線形式

$F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})$

$=x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')$

$F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')$

$+b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')$

這可能不美觀，但$F=F_{t}=0$給出了$(x,y)$中的線性系統，因此獲得回光線的參數是很簡單的，用克萊姆法則就可以。

例子

令方向向量為(0,1)，鏡面為$(t,t^{2}).$ 則

$u'=1$   $u''=0$   $v'=2t$   $v''=2$   $a=0$   $b=1$

$F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t$

$F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1$

且$F=F_{t}=0$有解$(0,1/4)$；即光線平行於拋物鏡面的軸線進入，會通過焦點反射。

另見

• 腎形線

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Caustic. MathWorld.