胡列維茨定理

在數學中,胡列維茨定理代數拓撲的一個基本結論。定理通過「胡列維茨同態」將同倫論同調論聯繫起來,是龐加萊此前部分結論的推廣。胡列維茨定理以維托爾德·胡列維茨英語Witold Hurewicz命名。

定理陳述

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胡列維茨定理是連接同倫群同調群的關鍵一環。

絕對版本

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對於任意空間   和任意正整數  ,都存在群同態(構造見本小節末尾)

 

稱為從  同倫群  階(整係數)同調群的胡列維茨同態。當    道路連通時,胡列維茨同態等價於標準的阿貝爾化映射

 

胡列維茨定理聲明,若  (n -1)-連通空間,那麼對於所有  ,胡列維茨同態都是群同構(當  )或阿貝爾化(當  )。特別地,定理說明第一同倫群(即基本群)的阿貝爾化同構於第一同調群:

 

因此,如果   道路連通且  完美群,那麼   的第一同調群為零。

此外,當   是(n -1)-連通時( ),胡列維茨同態   都是滿同態滿射)。

胡列維茨同態由如下方式給定:設   為標準生成元,那麼胡列維茨映射將同倫類   映射到  

相對版本

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三元版本

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單純集合版本

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拓撲空間的胡列維茨定理對於n-連通、滿足闞條件的單純集合也有對應陳述。[1]

有理胡列維茨定理

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  為單連通拓撲空間,並對於所有   滿足  。那麼胡列維茨映射

 

對於   為同構,且對於   是滿射。[2][3]

參考資料

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  1. ^ Goerss, P. G.; Jardine, J. F., Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1999, ISBN 978-3-7643-6064-1 , III.3.6, 3.7
  2. ^ Klaus, S.; Kreck, M., A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 2004, 136: 617–623, doi:10.1017/s0305004103007114 
  3. ^ Cartan, H.; Serre, J. P., Espaces fibres et groupes d'homotopie, II, Applications, C. R. Acad. Sci. Paris, 1952, 2 (34): 393–395