胡列維茨定理

在數學中，胡列維茨定理是代數拓撲的一個基本結論。定理通過「胡列維茨同態」將同倫論與同調論聯繫起來，是龐加萊此前部分結論的推廣。胡列維茨定理以維托爾德·胡列維茨（英語：Witold Hurewicz）命名。

定理陳述

胡列維茨定理是連接同倫群和同調群的關鍵一環。

對於任意空間 $X$ 和任意正整數 $k$ ，都存在群同態（構造見本小節末尾）

h_{\ast }\colon \,\pi _{k}(X)\to H_{k}(X)\,\!

稱為從 $k$ 階同倫群到 $k$ 階（整係數）同調群的胡列維茨同態。當 $k=1$ 且 $X$ 道路連通時，胡列維茨同態等價於標準的阿貝爾化映射

h_{\ast }\colon \,\pi _{1}(X)\to \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X).\,\!

胡列維茨定理聲明，若 $X$ 是(n -1)-連通空間，那麼對於所有 $k\leq n$ ，胡列維茨同態都是群同構（當 $n\geq 2$ ）或阿貝爾化（當 $n=1$ ）。特別地，定理說明第一同倫群（即基本群）的阿貝爾化同構於第一同調群：

H_{1}(X)\cong \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)].\,\!

因此，如果 $X$ 道路連通且 $\pi _{1}(X)$ 是完美群，那麼 $X$ 的第一同調群為零。

此外，當 $X$ 是(n -1)-連通時（ $n\geq 2$ ），胡列維茨同態 $\pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)$ 都是滿同態（滿射）。

胡列維茨同態由如下方式給定：設 $u_{n}\in H_{n}(S^{n})$ 為標準生成元，那麼胡列維茨映射將同倫類 $f\in \pi _{n}(X)$ 映射到 $f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)$ 。

拓撲空間的胡列維茨定理對於n-連通、滿足闞條件的單純集合也有對應陳述。^[1]

設 $X$ 為單連通拓撲空間，並對於所有 $i\leq r$ 滿足 $\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0$ 。那麼胡列維茨映射

h\otimes \mathbb {Q} :\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )

對於 $1\leq i\leq 2r$ 為同構，且對於 $i=2r+1$ 是滿射。^[2]^[3]

^ Goerss, P. G.; Jardine, J. F., Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1999, ISBN 978-3-7643-6064-1 , III.3.6, 3.7
^ Klaus, S.; Kreck, M., A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 2004, 136: 617–623, doi:10.1017/s0305004103007114
^ Cartan, H.; Serre, J. P., Espaces fibres et groupes d'homotopie, II, Applications, C. R. Acad. Sci. Paris, 1952, 2 (34): 393–395

Brown, R., Triadic Van Kampen theorems and Hurewicz theorems, Contemporary Mathematics, 1989, 96: 39–57, ISSN 0040-9383, doi:10.1090/conm/096/1022673
Brown, Ronald; Higgins, P. J., Colimit theorems for relative homotopy groups, Journal of Pure and Applied Algebra, 1981, 22: 11–41, ISSN 0022-4049, doi:10.1016/0022-4049(81)90080-3
Brown, R.; Loday, J.-L., Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series, 1987, 54: 176–192, ISSN 0024-6115, doi:10.1112/plms/s3-54.1.176
Brown, R.; Loday, J.-L., Van Kampen theorems for diagrams of spaces, Topology, 1987, 26 (3): 311–334, ISSN 0040-9383, doi:10.1016/0040-9383(87)90004-8
Rotman, Joseph J., An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 119, Springer-Verlag, 19881998-07-22, ISBN 978-0-387-96678-6
Whitehead, George W., Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics 61, Springer-Verlag, 1978, ISBN 978-0-387-90336-1