閔可夫斯基不等式

在數學中，閔可夫斯基不等式（Minkowski inequality）表明L^p空間是一個賦范向量空間。設 $S$ 是一個測度空間，$1\leq p\leq \infty ,f,g\in L^{p}(S)$，那麼 $f+g\in L^{p}(S)$，我們有：

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

如果 $1<p<\infty$，等號成立若且唯若 $\exists k\geq 0,f=kg$，或者 $g=kf$ .

閔可夫斯基不等式是 $L^{p}(S)$ 中的三角不等式。它可以用赫爾德不等式來證明。和赫爾德不等式一樣，閔可夫斯基不等式取可數測度可以寫成序列或向量的特殊形式：

$\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

將所有實數 $x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1}\,,\ \cdots ,y_{n}$（$n$ 為 $S$ 的維數）改成複數同樣成立。

值得指出的是，如果 $x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}>0$，$p<1$，則 $\leq$ 可以變為 $\geq$ .

積分形式的證明

我們考慮 $\|f+g\|_{p}$ 的 $p$ 次冪：

$\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{{\frac {1}{p}}\cdot p}=\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx$

（用三角形不等式展開 $|f(x)+g(x)|$）

$\leq \int _{a}^{b}|f(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx+\int _{a}^{b}|g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx$

（用赫爾德不等式）

$\leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac {1}{q}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac {1}{q}}$

$=\left[\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\right]\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{qp-q}dx\right)^{\frac {1}{q}}$

（利用 $p=qp-q$，因為${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$）

$=\left[\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\right]\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{q}}$

現在我們考慮這個不等式序列的首尾兩項。首項除以尾項的最後一個因子，即得

$\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}$

這正是我們所要的結論。

對於序列的情形，證明是完全類似的。

參閱

• 馬勒不等式

參考文獻

• 邢家省; 王樹澤. Young不等式在L~p空间中的应用. 聊城大學學報(自然科學版). 2007, (03): 19–22 [2022-03-04]. ISSN 1672-6634. （原始內容存檔於2022-03-04）. 
• 張願章. Young不等式的证明及应用. 河南科學. 2004, (01): 23–29 [2022-03-04]. ISSN 1004-3918. doi:10.13537/j.issn.1004-3918.2004.01.006. （原始內容存檔於2022-03-04）. 
• 匡繼昌. 常用不等式. 山東科技出版社. 2004年. ISBN 7-5331-3618-7. 
• （英）哈代（G.H.Hardy），（英）利特爾伍德（J.E.Littlewood），（美）波利亞（G.Polya）著；越民義 譯. 《不等式》. 人民郵電出版社. 2008: 第二章 第十七節. ISBN 978-7-115-18802-1.