赫尔德不等式

赫尔德不等式数学分析的一条不等式,取名自德国数学家奥托·赫尔德。这是一条揭示Lp空间的相互关系的基本不等式:

为测度空间,,及,设内,内。则内,且有

等号当且仅当几乎处处)线性相关时取得,即有常数使得对几乎所有成立。

取作附计数测度,便得赫尔德不等式的特殊情形:对所有实数(或复数,有

我们称pq互为赫尔德共轭

若取自然数集附计数测度,便得与上类似的无穷级数不等式。

,便得到柯西-施瓦茨不等式

赫尔德不等式可以证明空间上一般化的三角不等式闵可夫斯基不等式,和证明空间是空间的对偶

备注

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  • 在赫尔德共轭的定义中,1/∞意味着零。
  • 如果1 ≤ pq < ∞,那么||f ||p和||g||q表示(可能无穷的)表达式:
    以及    
  • 如果p = ∞,那么||f ||表示|f |的本性上确界,||g||也类似。
  • 在赫尔德不等式的右端,0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞,则得出 ∞。

证明

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赫尔德不等式有许多证明,主要的想法是杨氏不等式

如果||f ||p = 0,那么f μ-几乎处处为零,且乘积fg μ-几乎处处为零,因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此,我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞,那么不等式的右端为无穷大。因此,我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p = ∞且q = 1,那么几乎处处有|fg| ≤ ||f || |g|,不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞,情况也类似。因此,我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。

分别用fg除||f ||p||g||q,我们可以假设:

 

我们现在使用杨氏不等式:

 

对于所有非负的ab,当且仅当ap = bq时等式成立。因此:

 

两边积分,得:

 

这便证明了赫尔德不等式。

p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下,等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。更一般地,如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内,那么赫尔德不等式变为等式,当且仅当存在αβ > 0(即α = ||g||qβ = ||f ||p),使得:

    μ-几乎处处   (*)

||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q =0 的情况对应于(*)中的α = 0。

反向赫尔德不等式

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 时, 不再满足三角不等式,此时成立反向赫尔德不等式(Reverse Hölder inequality):

 

参考文献

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  • Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809 
  • Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47 
  • Kuptsov, L.P., Hölder inequality, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150 
  • Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02], (原始内容存档 (PDF)于2008-08-07) 
  • 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报(自然科学版). 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634. 
  • 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918.