非構造性證明
非構造性證明是「表述存在性的命題或定理」的一種證明方式:證明的過程中,不舉例而只證明語句是否正確。非構造性證明很多時候依賴於排中律。數學構成主義數學不允許非構造性證明。
例一
編輯A、B兩人進行這樣一個數學遊戲:在黑板上輪流寫下1到2000中的任意一個整數(含邊界,A先寫),但不能寫下任何黑板上已存在的數的因子。當一方不能寫出數字時該方則輸。問:誰有必勝策略?
證明
編輯- 考慮一種新的遊戲:A'、B'在黑板上輪流寫下2到2000中的任意一個整數(含邊界,A'先寫),但不能寫下任何黑板上已存在的數的因子。當一方不能寫出數字時該方則輸。在這個遊戲中誰有必勝策略?
- 如果A'有必勝策略,那麼A在原遊戲中也採用這個策略。注意,1在以後的過程中再也不能寫上了(因為它是任何數的因子)。由於在新遊戲中A'有必勝策略,所以在原遊戲中,A有必勝策略。
- 如果B'有必勝策略,那麼A在原遊戲中先寫上1。這就相當於構建了上述新遊戲,B是新遊戲中的A',A是新遊戲中的B'。由於在新遊戲中B'有必勝策略,所以在原遊戲中,A有必勝策略。
- 綜上所述,A有必勝策略。
上述證明過程中並沒有找出具體的必勝策略,但是仍然證明了A有必勝策略。
例二
編輯比如要證明一個簡單的命題:
- 超越數存在。
證明
編輯證明過程並沒有找出任何一個超越數,但是依然證明了上述命題的正確性。
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