高斯-盧卡斯定理

高斯-盧卡斯定理，又稱盧卡斯定理，該定理描述了複係數多項式的一個性質：多項式導數的根一定在原多項式的根所構成的凸包內。

這一結論曾在1836年被高斯直接使用，1874年由菲利克斯·盧卡斯（英語：Félix Lucas）證明^[1]。

動機

二次多項式 $P(x)=ax^{2}+bx+c$ 的導數 $P'$ 的根為原多項式 $P$ 的兩個根的平均數。

同樣地，如果一個 $n$ 次多項式有 $n$ 個兩兩不同的實值零點 $x_{1}<x_{2}<...<x_{n}$ ，根據羅爾定理，其導數的每個零點都位於區間 $[x_{1},x_{n}]$ 之中。

高斯-盧卡斯定理可以看成這一性質在復係數多項式上的推廣。

設 $P$ 是一個非常數的複係數多項式，那麼 $P'$ 的所有根都屬於由 $P$ 的根構成的凸包。

將多項式函數P寫成複數下的不可約形式： $P(z)=c\prod _{i=1}^{r}(z-a_{i})^{n_{i}}$ ，其中複數 $c$ 是多項式的主係數、 $a_{i}$ 是多項式的根、 $n_{i}$ 為各個根的重數。

首先注意到：

{\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}

假設複數 $z$ 滿足：

P^{\prime }(z)=0\quad {\hbox{且}}\quad P(z)\neq 0,

因此：

\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}=0\quad

乘以共軛取模

\quad \ \sum _{i=1}^{r}n_{i}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}=0,

寫成如下形式：

\left(\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}\right){\overline {z}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}{\overline {a_{i}}}.

此時，可以將 $z$ 看成是 $n$ 個位於 $a_{i}$ 的質點的重心，因此在其構成的凸包內。

另一種 $P(z)=0$ 情況下的證明是顯然的。