高斯-盧卡斯定理

高斯-盧卡斯定理,又稱盧卡斯定理,該定理描述了係數多項式的一個性質:多項式導數一定在原多項式的根所構成的凸包內。

這一結論曾在1836年被高斯直接使用,1874年由菲利克斯·盧卡斯英語Félix Lucas證明[1]

動機

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二次多項式  的導數 的根為原多項式 的兩個根的平均數。

同樣地,如果一個  次多項式有   個兩兩不同的實值零點 ,根據羅爾定理,其導數的每個零點都位於區間  之中。

高斯-盧卡斯定理可以看成這一性質在復係數多項式上的推廣。

表述

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設   是一個非常數的複係數多項式,那麼 的所有根都屬於由 的根構成的凸包。

證明

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將多項式函數P寫成複數下的不可約形式:  ,其中複數  是多項式的主係數、  是多項式的根、  為各個根的重數。

首先注意到:

 

假設複數 滿足:

 

因此:

 

乘以共軛取模

 

寫成如下形式:

 

此時,可以將 看成是 個位於  的質點的重心,因此在其構成的凸包內。

另一種 情況下的證明是顯然的。

參考

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  1. ^ Félix Lucas. Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations. C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. 1879, LXXXIX: 224–226 [2016-11-07]. (原始內容存檔於2023-03-01). 

相關定理

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