Powerful p-群

在數學的群論中，特別在p-群和pro-p-群的研究中，powerful p-群是一個起着重要作用的概念。這個概念是在(Lubotzky & Mann 1987)引入的，該文中並給出了幾個應用，包括Schur乘子的一些結果。powerful p-群用於p-群的自同構研究(Khukhro 1998)，受限制的Burnside問題的解答(Vaughan-Lee 1993)，以coclass猜想作出的有限p-群分類(Leedham-Green & McKay 2002)，及給出了很好的方法去理解解析pro-p-群 (Dixon et al. 1991)。

正式定義

有限p-群 $G$ 稱為powerful，於 $p$ 為奇數時，若交換子子群 $[G,G]$ 包含在子群 $G^{p}=\langle g^{p}|g\in G\rangle$ 內，而於p=2時若 $[G,G]$ 包含在子群 $G^{4}$ 內。

powerful p-群有很多性質與阿貝爾群類似，所以可作為p-群研究的好的基礎。每個有限p-群可以表示為一個powerful p-群的section。

powerful p-群也可用於研究pro-p群，因為powerful p-群提供了簡單方法去描繪p-進解析群（在p-進數上為流形的群）的特性：一個有限生成pro-p群是p-進解析的，當且僅當這個群包含一個powerful的開正規子群。這是Michel Lazard(1965)一個深刻結果的特例。

一些與阿貝爾p-群相似的性質有：若 $G$ 是powerful p-群，則：

$G$ 的Frattini子群 $\Phi (G)$ 有性質 $\Phi (G)=G^{p}$
$G^{p^{k}}=\{g^{p^{k}}|g\in G\}$ 對所有 $k\geq 1.$ 。就是以 $p^{k}$ 次冪生成的群，正是 $p^{k}$ 次冪的集合。
對所有 $k\geq 1$ ，若 $G=\langle g_{1},\ldots ,g_{d}\rangle$ ，則 $G^{p^{k}}=\langle g_{1}^{p^{k}},\ldots ,g_{d}^{p^{k}}\rangle$ 。
對所有 $k\geq 1$ ， $G$ 的下中心序列的第k位有性質 $\gamma _{k}(G)\leq G^{p^{k-1}}$ 。
powerful p-群的每個商群都powerful。
$G$ 的Prüfer秩等於 $G$ 的生成元的最小數目。

一些不太像阿貝爾群的性質有：若 $G$ 是powerful p-群，則

Lazard, Michel (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ.Math.IHES 26 (1965), 389-603.
Dixon, J. D.; du Sautoy, M. P. F.; Mann, A.; Segal, D., Analytic pro-p-groups, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39580-1, MR 1152800
Khukhro, E. I., p-automorphisms of finite p-groups, Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-59717-X, MR 1615819
Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan, The structure of groups of prime power order, London Mathematical Society Monographs. New Series 27, Oxford University Press, 2002, ISBN 978-0-19-853548-5, MR 1918951
Lubotzky, Alexander; Mann, Avinoam, Powerful p-groups. I. Finite Groups, J. Algebra, 1987, 105 (2): 484–505, doi:10.1016/0021-8693(87)90211-0, MR 0873681
Vaughan-Lee, Michael, The restricted Burnside problem 2nd, Oxford University Press, 1993, ISBN 0-19-853786-7, MR 1364414