討論:克萊因瓶

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最新留言：11 年前2則留言2個人參與討論

--222.76.51.33 (留言) 2009年11月15日 (日) 19:36 (UTC)回覆

註：以上用戶的討論留言是其從正文中刪除的侵權內容，我認為侵權內容同樣不應該存在於討論頁，故刪除。 EdiTurn（留言） 2013年5月29日 (三) 20:58 (UTC)回覆

參數方程的參數取值範圍是什麼？

最新留言：5 年前2則留言2個人參與討論

當前版本給出了克萊因瓶的一個參數方程（「還有一個較簡單的」）：

${\begin{aligned}&x(u,v)=\cos u(\cos {\frac {u}{2}}({\sqrt {2}}+\cos v)+\sin {\frac {u}{2}}\sin v\cos v)\\&y(u,v)=\sin u(\cos {\frac {u}{2}}({\sqrt {2}}+\cos v)+\sin {\frac {u}{2}}\sin v\cos v)\\&z(u,v)=-\sin {\frac {u}{2}}({\sqrt {2}}+\cos v)+\cos {\frac {u}{2}}\sin v\cos v\end{aligned}}$

但是， $u,v$ 兩個參數的取值範圍是什麼呢？我用 $\pi$ 的倍數亂試了幾次，並不能畫出一個像常見的克萊因瓶的樣子的曲面。這個參數方程大概是在這次更改中被匿名用戶引入的，因此我無法聯繫到原作者。

附Mathematica繪圖代碼方便試驗（當前的參數範圍 $[0,2\pi ]^{2}$ 畫出來像半個核桃仁）：

kx[u_, v_] := Cos[u] (Cos[u/2] (Sqrt[2] + Cos[v]) + Sin[u/2] Sin[v] Cos[v])

ky[u_, v_] := Sin[u] (Cos[u/2] (Sqrt[2] + Cos[v]) + Sin[u/2] Sin[v] Cos[v])

kz[u_, v_] := -Sin[u/2] (Sqrt[2] + Cos[v]) + Cos[u/2] Sin[v] Cos[v]

ParametricPlot3D[{kx[u, v], ky[u, v], kz[u, v]}, {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 2 Pi}]—以上未簽名的留言由Snowonion（對話｜貢獻）於2019年2月4日 (一) 04:46 (UTC)加入。回覆

如果從u=v=0開始，參數方程只有在到了u=4π和v=2π時才會回歸到原來的數值。所以參數範圍是u=0...4π和v=0...2π。用你的代碼畫出的圖是一個拓撲意義上的克萊因瓶。選擇這個代碼，是因為它的式子比較簡單，儘管它看起來不像最廣為人知的樣子。鋼琴小子 2019年2月6日 (三) 22:51 (UTC)回覆

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